Les droites concourantes...
Bonjour à tous
ce petit théorème pour vous donner du sport mathématique.
on considère le quadrilatère complet $ADCBFO$. Les parallèles à $(BO)$ passant par $D$ et $F$ coupent $(AB)$ en $H_1$ et $H_2$ respectivement.
Justifier que $(DB), (CH_1)$ et $(OH_2)$ sont concourantes en $G$
on considère le quadrilatère complet $ADCBFO$. Les parallèles à $(BO)$ passant par $D$ et $F$ coupent $(AB)$ en $H_1$ et $H_2$ respectivement.Justifier que $(DB), (CH_1)$ et $(OH_2)$ sont concourantes en $G$
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Réponses
L'application qui à un point $M$ de $(BC)$ associe l'intersection $H_1$ de $(DM)$ avec $(AB)$ est une homographie de $(BC)$ sur $(AB)$.
Idem pour l'application $H_1\mapsto K_1$ (intersection de $(H_1C)$ et de $(BD)$) de $(AB)$ sur $(BD)$.
La composée des deux est donc une homographie de $(BC)$ sur $(BD)$ telle que $O\mapsto F\ ;\ C\mapsto D\ ;\ B\mapsto B$.
On raisonne de même avec $M\mapsto H_2\mapsto K_2$ (c.f. figure) qui donne les même images pour les trois points $O,C,B$ donc qui donne la même image pour tout point de $(BC)$ : $K_1\!=\!K_2$ pour tout point $M$ de $(BC)$, en particulier pour le point à l'infini.
Soit $ABCD$ un rectangle, $O$ l'intersection des diagonales et $E$ un point de $(BD).$
On définit les points $F,I$ et $H$ comme sur la figure.
Démontrer que $(HI) // (BC)$
Ta démonstration est cool et très..
Et si nous cherchons plus dans cette homographie
L'application qui à tout point $M$ de $(BC )$ associe $P$ (intersection de $(MI)$ avec $(DB)$) renvoie $O$ en $F$, $C$ en $D$ et $B$ en $B$
On a la parallèle à $(BC)$ passant par $I$ passe par le point $G$ défini dans l'hypothèse...
Cordialement
Bonaventure-S0_
Oui oui..
Quand le triangle ABC est rectangle est B alors G représente le centre de gravité du rectangle..
Et le résultat revient naturellement ici avec mes notations...
Cordialement
Bonaventure-S0_