Série et série des inverses de rationnels divergentes
Bonjour à tous
J'ai une question assez précise. J'insiste sur le fait que je souhaite trouver moi-même les cheminements pour arriver aux réponses que vous auriez à me suggérer concernant des choses à dire sur $(a_n / b_n )_n$.
Ainsi, soit $\left( \dfrac{a_n}{b_n} \right)_n$ une suite de rationnels positifs supérieurs ou égaux à 2, ($a_n \wedge b_n =1)$, telle que :
- Il existe un entier $a$ , tel que pour tout $n$, telle que $a_n = a^{a_{n}^{'} } $ est une puissance de $a$ et $(a_{n}^{'})_n$ est une suite strictement croissante d'entiers de $\mathbb{N}^{*}$.
- Il existe un entier $b$ , tel que pour tout $n$, $b_n = b^n $.
$$\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{a_n}{b_n} = +\infty\qquad\text{ ET }\qquad\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{b_n}{a_n} = +\infty.$$
Quelles sont les choses les plus fines que l'on peut dire sur la suite $\left( \dfrac{a_n}{b_n} \right)_n$ ?
Merci.
J'ai une question assez précise. J'insiste sur le fait que je souhaite trouver moi-même les cheminements pour arriver aux réponses que vous auriez à me suggérer concernant des choses à dire sur $(a_n / b_n )_n$.
Ainsi, soit $\left( \dfrac{a_n}{b_n} \right)_n$ une suite de rationnels positifs supérieurs ou égaux à 2, ($a_n \wedge b_n =1)$, telle que :
- Il existe un entier $a$ , tel que pour tout $n$, telle que $a_n = a^{a_{n}^{'} } $ est une puissance de $a$ et $(a_{n}^{'})_n$ est une suite strictement croissante d'entiers de $\mathbb{N}^{*}$.
- Il existe un entier $b$ , tel que pour tout $n$, $b_n = b^n $.
$$\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{a_n}{b_n} = +\infty\qquad\text{ ET }\qquad\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{b_n}{a_n} = +\infty.$$
Quelles sont les choses les plus fines que l'on peut dire sur la suite $\left( \dfrac{a_n}{b_n} \right)_n$ ?
Merci.
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Réponses
si pour obtenir des propriétés de majoration/minoration (ou autre) sur $a_n$, $b_n$ ou le quotient, vous avez besoin d' ajouter des hypothèses faibles, vous pouvez. Même si le mieux serait d'éviter.
Cordialement
a<b, a=b et a>b
L'objectif est de 'fermer des portes' et de se concentrer sur les cas intéressants.