Addition d'équivalents de fonctions

PierreCap
Modifié (November 2023) dans Analyse
Bonjour. Je sais que l'addition d'équivalents de fonctions donne généralement des résultats faux. Il faut donc prendre des précautions, que pensez-vous de cette proposition ?
Merci pour votre relecture.
Pierre

Réponses

  • john_john
    Modifié (November 2023)
    après une lecture en diagonale, cela me semble juste, mais maladroit ; j'aurais plutôt écrit $f_i=g_i+{\rm o}(g_i)$ puis montré que chaque ${\rm o}(g_i)$ est un ${\rm o}(g_1+g_2)$.

    Cela dit, il y a sans doute plus avant dans le texte une définition de la notion de ${\rm o}(g)$, qui est à manier avec précaution, selon que l'on permet ou non à $g$ de s'annuler dans un vosinage pointé de $a$.
  • gebrane
    Modifié (November 2023)
    Bonjour,
    Je crois trouver une formulation inédite: Si au voisinage épointé de  $a$,    $f_1\sim g_1$ et $f_2\sim g_2$ et $\frac{g _1}{g_1 +g_2}$ ou   $\frac{g _2}{g_1 +g_2}$  est bornée alors  $f_1+f_2\sim g_1 +g_2$

    Preuve On peut écrire si on note $f_1=g_1h_1$ et $f_2=g_2h_2$, ( correction coquille) $f_1 +f_2 =(g_1 +g_2) (h_1+ (h_2 -h_1 )\frac{g _2}{g_1 +g_2})$ ou encore $f_1 +f_2 =(g_1 +g_2) (h_2+ (h_1 -h_2 )\frac{g _1}{g_1 +g_2})$

    Je m’inquiète pour @Dom, il a disparu


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  • Très simple également !, mais il faut changer l'indice dans la fraction : $f_1 +f_2 =(g_1 +g_2) (h_1+ (h_2 -h_1 )\frac{g _2}{g_1 +g_2}) $.

    A noter que $g_1/(g_1+g_2)$ et $g_2/(g_1+g_2)$ sont toutes les deux bornées ou non bornées puisque leur somme est constante.
  • Ah oui, si l une est bornée l'autre est aussi bornée Merci
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  • gebrane
    Modifié (November 2023)
    Je crois qu'on a une équivalence ( sans trop réfléchir)  Si  $f_1\sim g_1$ et $f_2\sim g_2$ , alors $f_1+f_2\sim g_1 +g_2$ ssi $g_1/( g_1 +g_2)$ est bornée   au voisinage épointé de $a$


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  • Merci pour vos relectures. Et merci à toit gebrane pour cette nouvelle formulation.

    Pierre
  • Chaurien
    Modifié (November 2023)
    ... à toit ?????
  • Pierre mon équivalence est vraie ou fausse :smiley: il ne faut pas croire à tout ce qu'on vous dit
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  • PierreCap
    Modifié (November 2023)
    @gebrane. Ah oui en effet. Je crois que la réciproque est fausse. On arrive à la conclusion que $\lim (h_1-h_2) \times \lim[g_1/(g_1+g_2]=0$, mais comme $\lim (h_1-h_2)=0$ on ne peut pas conclure. En tous cas je ne sais pas le faire.
  • gebrane
    Modifié (November 2023)
    Rebonjour PierreCap
    Je pense que tu as bien fait d'ouvrir ce fil sur la somme des équivalents, car je constate dans les corrigés qui circulent sur le net une complication sur le calcul des équivalents d'une somme. Par exemple, si je veux l'équivalent en $0$ de $x\to x+\sin x$, certains compliquent la justification que l'équivalent est $2x$, moi je dis  $x\sim x$ et $\sin x \sim x$ et on fait la somme.
    J'explique, en général, les équivalents en $0$ ont la forme $ax^{\alpha}$, donc il serait avantageux de donner une propriété générale.
    Pour des équivalents en $0$,
    Si $f\sim ax^{\alpha}$ et $g\sim bx^{\beta}$ alors
    1- si $\alpha < \beta$, alors $f+g \sim ax^{\alpha}$.
    2- si $\alpha = \beta$ et $a+b \neq 0$, alors $f+g \sim (a+b)x^{\alpha}$.''
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  • Plutôt que faire une opération problématique dans beaucoup de cas, pourquoi ne pas écrire $x=x+o(x)$ et $\sin x=x+o(x)$ donc $x+\sin x=2x+o(x)$ ?
    De façon générale, il est plus simple de se rappeler qu'il faut trouver autre chose que des équivalents pour faire des sommes que se rappeler les situations où on peut les ajouter, parce que leur description sera forcément emberlificotée. Si la somme est possible, cela apparaît immédiatement lorsqu'on passe des $\sim$ à des $o$. Autrement dit je ne comprends pas l'intérêt de ce fil...
  • @Math Coss  : tout à fait, surtout quand on voit la preuve du résultat, d'une lourdeur.....et puis une coquille, j'imagine que $a\in \overline{D}$ et non $a\in \overline{\R}$
  • JLapin
    Modifié (November 2023)
    certains compliquent la justification que l'équivalent est 2x, moi je dis  x∼x et sinx∼x et on fait la somme.

    Tu as raison : les preuves habituelles avec des $o$ sont  inutilement compliquées : il suffit de diviser $x+\sin x$ par $2x$ et de constater que ce quotient tend vers $1/2+1/2$ donc $1$.

  • Pour le coup, c'est une limite épointée ;)
  • PierreCap
    Modifié (November 2023)
    @troisqua. Il faut bien sûr que $a \in \overline{D}$ sinon l'équivalence en $a$ n'a pas de sens. Mais je voulais dire qu'il est possible que $D$ ne soit pas borné et que l'équivalence soit au voisinage de $+\infty$.
  • gebrane
    Modifié (November 2023)
    Peux-tu me donner la version la plus générale que tu penses vraie sur l’équivalent de $$\ln(f(x))$$
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  • PierreCap
    Modifié (November 2023)
    @gebrane. Si $f$ et $g$ sont équivalents en $a \in R$ et s'ils admettent une limite strictement positive et différente de 1 alors leurs logarithmes sont équivalents en $a$. Je crois. Si leur limite est 1 on ne peut pas conclure mais quelquefois ça marche, on peut quand même prendre prendre le logarithme. J'ai un exercice qui montre un tel exemple (si je ne me suis pas trompé car j'avais l'énoncé mais pas la solution).
  • PierreCap
    Modifié (November 2023)

  • Héhéhé
    Modifié (November 2023)
    Moi je dis $x \sim x$ et $\sin x \sim x$ donc $x - \sin x \sim 0$. C'est exactement ton argument @gebrane.
  • gebrane
    Modifié (November 2023)
    Ça ne va pas hehe. Lis bien bien la propriété sur que j'ai énoncée.
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  • Héhéhé
    Modifié (November 2023)
    C'est exactement ce que tu as marqué sur ton message de 11:17. 

  • gebrane
    Modifié (November 2023)
    @Héhéhé  Tu lis en diagonale ! 
    Pourquoi tu n'as pas terminé la lecture ?
    As-tu lu après "J'explique, ...." ?
    J'ai donné l'explication pour ne pas être obligé d'expliquer après  mon propos
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  • Est-ce que l'enseignement des équivalents est une perte de temps, étant donné ses complications ( par exemple un équivalent en 0 de $x\to 1-x-e^{-x}$ ? Ne serait-il pas préférable que l'enseignant passe directement aux développements limités ?
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  • @gebrane. Non je pense qu'au contraire cela peut aider à mieux comprendre les DL. A condition d'utiliser les notions de négligeabilité puis d'équivalence dans des exemples qui montrent ce que signifie "approximer une fonction $f(x)$ par une fonction polynomiale $P(x)$ au voisinage d'un point $x=a$".
  • Les équivalents sont fait pour présenter le résultat final d'un calcul asymptotique, pas pour faire des calculs (sauf cas hyper simples).
  • Ne parler que de DL ? Voire... Toutefois, la notion de DL est trop restreinte : si l'on veut être aussi général qu'avec des équivalents, il faut alors parler de développement asymptotique et donc d'échelle de comparaison. Il n'est pas sûr que cela simplifiera la tâches des élèves.
  • gerard0
    Modifié (November 2023)
    Bonjour.
    Pour des petits niveaux (DUT, formations peu mathématisées), il est préférable de passer rapidement aux développements limités, en expliquant qu'on a des problèmes avec les sommes et les équivalents, qui disparaissent avec les DL (quand la somme fait 0, on sait qu'il faut reprendre). Et séparer les cas de limites finies (DL) et infinies (DA). Ça ne règle pas tout, mais ça passe mieux que d'ergoter sur les cas et sous-cas. À plus haut niveau, on peut demander une réflexion plus importante, qui évite d'apprendre par cœur de nombreuses situations qu'on ne rencontrera que rarement.
    Cordialement.
  • Perso, je fais les DL avant les équivalents.
  • Mais tu as fait la négligeabilité auparavant, j'imagine.
  • Héhéhé
    Modifié (November 2023)
    Juste les $o(x^n)$ pour gérer les DL.
  • Bonne idée Héhé de commencer par les DL
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