Bonjour. Je sais que l'addition d'équivalents de fonctions donne généralement des résultats faux. Il faut donc prendre des précautions, que pensez-vous de cette proposition ? Merci pour votre relecture. Pierre
après une lecture en diagonale, cela me semble juste, mais maladroit ; j'aurais plutôt écrit $f_i=g_i+{\rm o}(g_i)$ puis montré que chaque ${\rm o}(g_i)$ est un ${\rm o}(g_1+g_2)$.
Cela dit, il y a sans doute plus avant dans le texte une définition de la notion de ${\rm o}(g)$, qui est à manier avec précaution, selon que l'on permet ou non à $g$ de s'annuler dans un vosinage pointé de $a$.
Je crois trouver une formulation inédite: Si au voisinage épointé de $a$, $f_1\sim g_1$ et $f_2\sim g_2$ et $\frac{g _1}{g_1 +g_2}$ ou $\frac{g _2}{g_1 +g_2}$ est bornée alors $f_1+f_2\sim g_1 +g_2$
Preuve On peut écrire si on note $f_1=g_1h_1$ et $f_2=g_2h_2$, ( correction coquille) $f_1 +f_2 =(g_1 +g_2) (h_1+ (h_2 -h_1 )\frac{g _2}{g_1 +g_2})$ ou encore $f_1 +f_2 =(g_1 +g_2) (h_2+ (h_1 -h_2 )\frac{g _1}{g_1 +g_2})$
Citation : Essaye avec une formule de politesse plus convenable, le contexte de l'exercice, ton niveau actuel d'étude et en expliquant les initiatives que tu as prises pour voir ce que ça donne ?. JLapin
Ah oui, si l une est bornée l'autre est aussi bornée Merci
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Je crois qu'on a une équivalence ( sans trop réfléchir) Si $f_1\sim g_1$ et $f_2\sim g_2$ , alors $f_1+f_2\sim g_1 +g_2$ ssi $g_1/( g_1 +g_2)$ est bornée au voisinage épointé de $a$
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Pierre mon équivalence est vraie ou fausse il ne faut pas croire à tout ce qu'on vous dit
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@gebrane. Ah oui en effet. Je crois que la réciproque est fausse. On arrive à la conclusion que $\lim (h_1-h_2) \times \lim[g_1/(g_1+g_2]=0$, mais comme $\lim (h_1-h_2)=0$ on ne peut pas conclure. En tous cas je ne sais pas le faire.
Rebonjour PierreCap Je pense que tu as bien fait d'ouvrir ce fil sur la somme des équivalents, car je constate dans les corrigés qui circulent sur le net une complication sur le calcul des équivalents d'une somme. Par exemple, si je veux l'équivalent en $0$ de $x\to x+\sin x$, certains compliquent la justification que l'équivalent est $2x$, moi je dis $x\sim x$ et $\sin x \sim x$ et on fait la somme.
J'explique, en général, les équivalents en $0$ ont la forme $ax^{\alpha}$, donc il serait avantageux de donner une propriété générale. Pour des équivalents en $0$, Si $f\sim ax^{\alpha}$ et $g\sim bx^{\beta}$ alors 1- si $\alpha < \beta$, alors $f+g \sim ax^{\alpha}$. 2- si $\alpha = \beta$ et $a+b \neq 0$, alors $f+g \sim (a+b)x^{\alpha}$.''
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Plutôt que faire une opération problématique dans beaucoup de cas, pourquoi ne pas écrire $x=x+o(x)$ et $\sin x=x+o(x)$ donc $x+\sin x=2x+o(x)$ ?
De façon générale, il est plus simple de se rappeler qu'il faut trouver autre chose que des équivalents pour faire des sommes que se rappeler les situations où on peut les ajouter, parce que leur description sera forcément emberlificotée. Si la somme est possible, cela apparaît immédiatement lorsqu'on passe des $\sim$ à des $o$. Autrement dit je ne comprends pas l'intérêt de ce fil...
@Math Coss : tout à fait, surtout quand on voit la preuve du résultat, d'une lourdeur.....et puis une coquille, j'imagine que $a\in \overline{D}$ et non $a\in \overline{\R}$
certains compliquent la justification que l'équivalent est 2x, moi je dis x∼x et sinx∼x et on fait la somme.
Tu as raison : les preuves habituelles avec des $o$ sont inutilement compliquées : il suffit de diviser $x+\sin x$ par $2x$ et de constater que ce quotient tend vers $1/2+1/2$ donc $1$.
@troisqua. Il faut bien sûr que $a \in \overline{D}$ sinon l'équivalence en $a$ n'a pas de sens. Mais je voulais dire qu'il est possible que $D$ ne soit pas borné et que l'équivalence soit au voisinage de $+\infty$.
Peux-tu me donner la version la plus générale que tu penses vraie sur l’équivalent de $$\ln(f(x))$$
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@gebrane. Si $f$ et $g$ sont équivalents en $a \in R$ et s'ils admettent une limite strictement positive et différente de 1 alors leurs logarithmes sont équivalents en $a$. Je crois. Si leur limite est 1 on ne peut pas conclure mais quelquefois ça marche, on peut quand même prendre prendre le logarithme. J'ai un exercice qui montre un tel exemple (si je ne me suis pas trompé car j'avais l'énoncé mais pas la solution).
Ça ne va pas hehe. Lis bien bien la propriété surque j'ai énoncée.
Citation : Essaye avec une formule de politesse plus convenable, le contexte de l'exercice, ton niveau actuel d'étude et en expliquant les initiatives que tu as prises pour voir ce que ça donne ?. JLapin
Pourquoi tu n'as pas terminé la lecture ? As-tu lu après "J'explique, ...." ? J'ai donné l'explication pour ne pas être obligé d'expliquer après mon propos
Citation : Essaye avec une formule de politesse plus convenable, le contexte de l'exercice, ton niveau actuel d'étude et en expliquant les initiatives que tu as prises pour voir ce que ça donne ?. JLapin
Citation : Essaye avec une formule de politesse plus convenable, le contexte de l'exercice, ton niveau actuel d'étude et en expliquant les initiatives que tu as prises pour voir ce que ça donne ?. JLapin
Réponses
Cela dit, il y a sans doute plus avant dans le texte une définition de la notion de ${\rm o}(g)$, qui est à manier avec précaution, selon que l'on permet ou non à $g$ de s'annuler dans un vosinage pointé de $a$.
Je m’inquiète pour @Dom, il a disparu
A noter que $g_1/(g_1+g_2)$ et $g_2/(g_1+g_2)$ sont toutes les deux bornées ou non bornées puisque leur somme est constante.
Pierre
Je pense que tu as bien fait d'ouvrir ce fil sur la somme des équivalents, car je constate dans les corrigés qui circulent sur le net une complication sur le calcul des équivalents d'une somme. Par exemple, si je veux l'équivalent en $0$ de $x\to x+\sin x$, certains compliquent la justification que l'équivalent est $2x$, moi je dis $x\sim x$ et $\sin x \sim x$ et on fait la somme.
Pour des équivalents en $0$,
Si $f\sim ax^{\alpha}$ et $g\sim bx^{\beta}$ alors
1- si $\alpha < \beta$, alors $f+g \sim ax^{\alpha}$.
2- si $\alpha = \beta$ et $a+b \neq 0$, alors $f+g \sim (a+b)x^{\alpha}$.''
Tu as raison : les preuves habituelles avec des $o$ sont inutilement compliquées : il suffit de diviser $x+\sin x$ par $2x$ et de constater que ce quotient tend vers $1/2+1/2$ donc $1$.
As-tu lu après "J'explique, ...." ?
J'ai donné l'explication pour ne pas être obligé d'expliquer après mon propos