Équations différentielles d'ordre 2 : solutions périodiques

jc-marseille
Modifié (November 2023) dans Analyse
Je me propose d'étudier le problème suivant.
Quels sont les réels $r$ tels que $h: x\mapsto e^{rx}$ soit périodique de période $T>0$ ?

Je recherche donc les solutions telles que $e^{rx}=e^{r(x+nT)}$ mais comment arriver à une équation différentielle d'ordre 2 ?

Idem pour le problème suivant.
On suppose que $(a,b,c) \in \R^*\times  \R^2$, trouver une CNS pour que toutes les solutions de $ay''+by'+cy=0$ soient périodiques de même période $T>0$.

Réponses

  • La résolution explicite de l'équation différentielle est élémentaire (à mon époque c'était au programme de terminale). On en tire alors immédiatement la réponse à ta question. Mieux vaudrait juste préciser que tu souhaites que $T$ soit une période de chaque solution.
  • Gauthier Royer Thiercé Terminale C page 263
  • Sinon bien entendu, toujours en restant au niveau terminale,  lorsque ton paramètre est réel ta fonction n'est notoirement pas bornée, elle aura donc du mal à être périodique car elle est tout de même continue sur $\R$
  • Une variante de l'aspect non borné. La fonction ayant une limite nulle à une borne, si elle est périodique alors elle est nulle ...
  • jc-marseille
    Modifié (November 2023)
    Je colle sur la première question. La résolution de l'équation différentielle 2ième question est immédiate. 
    Pourriez-vous m'aider pour la première question ?
  • Désolé si je n'ai pas été clair. Sauf dans le cas où le paramètre est nul, ta fonction étant non bornée (ou ayant une limite nulle à une borne) n'est jamais périodique.  Donc pas la peine de chercher une equa diff dont elle serait une solution périodique. En fait ta fonction est périodique si et seulement si  ton paramètre est imaginaire pur. Et dans ce cas tu tombes sur l'équation du ressort.
  • gerard0
    Modifié (November 2023)
    Rappels.
    Une fonction continue sur un intervalle [a,b] (a<b) est bornée sur cet intervalle.
    Une fonction périodique de période T et continue est bornée sur chaque intervalle [nT,(n+1)T] et par les mêmes bornes. Elle est donc bornée.
    Cordialement.
  • gerard0
    Modifié (November 2023)
    Une autre façon de faire la question 1 au niveau terminale.
    Si la fonction est périodique, de période $T$, alors $e^{r(x+T)} = e^{rx}$ En divisant par $e^{rx}$ on obtient $e^{rT}=1$, d'où $rT=0$ et comme $T$ n'est pas nulle, $r=0$. La fonction cherchée est constante, égale à 1, est de périodique de toute période.

  • @jc-marseille Lex exponentielles périodiques ne sont pas de variables réelles mais de variables imaginaires pures!
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • @AlainLyon Il est bien connu que $t \mapsto e^{2i \pi t}$ n'est pas périodique sur $\mathbb R$... C'est sûrement une conséquence de la non consistance de $\mathsf{ZFC}$ que tu as prouvée.
  • jc-marseille
    Modifié (November 2023)
    Merci à tous pour vos réponses. 
    Ce sont des exercices que j'ai trouvés sur le site : groupe-reussite.fr.
    Manifestement, la question 1, n'avait pas beaucoup de sens.
    Cordialement !
    - jc
  • JLapin
    Modifié (November 2023)
    Ca a du sens si tu cherches les complexes $r\in \C$ tels que $x\mapsto e^{rx}$ soit une fonction $T$-périodique sur $\R$.
  • jc-marseille
    Modifié (November 2023)
    Oui, j'ai bien noté. si $r \in \R$, la fonction n'est pas bornée donc ne peut être périodique.
  • Sauf si $r=0$ tout de même.
  • jc-marseille
    Modifié (November 2023)
    Oui, c'est vrai, ainsi elle est alors bornée puisque constante et périodique pour toute valeur de $T$.
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