Pourquoi placer les chiffres se rapportant à la même "classe" dans les mêmes colonnes ?

J'ai dû tronquer pour le titre. Voici la version complète (et un chouia améliorée) de cette question qui m'a été posé par une jeune tête blonde :
Pourquoi plaçons-nous les chiffres se rapportant à des unités du même ordre dans les mêmes colonnes lorsque nous effectuons des opérations ?

Autrement dit, pourquoi on écrit

   1 2 3
+ 2 4 6
----------
   3 6 9

et pas autrement ?

J'avoue avoir été pris au dépourvu avec une telle question et je n'ai pas trop su quoi répondre sur l'instant… Et même après réflexion, hormis évoquer le principe de position ainsi que la notion de numération décimale, je ne vois pas vraiment grand-chose d'autre.

Et vous, que répondriez-vous à ma place ?

Réponses

  • hx1_210
    Modifié (November 2023)
    Et bien que compte-t-on dans chaque colonne?
    Que veut dire la position de chaque chiffre?

    C’est en effet la décomposition des nombres sur la base 10.

    D’ailleurs pourquoi 10 s’ecrit-il 1 puis 0?

    Comment procede-t-on en base 2 ou 7?

    Cette question illustre à merveille pourquoi l’enseignement des mathématiques par des gens qui n’ont pas fait d’algèbre est une catastrophe. 
    Vous touchez du doigt la tâche immense qui est celle des professeurs en collège qui doivent enseigner tout cela à des élèves qui pendant 5 ans pour beaucoup n’ont cru apprendre que des recettes.
    Je refais tout cela systématiquement en 4e et 3e au moment d’étudier les puissances et la division euclidienne, si vous saviez le nombre d’élèves qui découvrent alors ce que sont vraiment les opérations posées dont ils n’ont absolument pas compris en quoi elle consistent en dehors de l’algorithme appris à grand renfort d’astuce.
  • i.zitoussi
    Modifié (November 2023)
    Sans doute faut-il en revenir aux définitions : $123 = 1\rm{x}10^2 + 2\rm{x}10 ^1 + 3\rm{x}10^0$ et $246 =2\rm{x}10^2+4\rm{x}10^1+6\rm{x}10^0$. Ensuite on applique les "règles de l'algèbre", en particulier la distributivité de "x" vis-à-vis de "+"...
    Après je bloque.
  • NicoLeProf
    Modifié (November 2023)
    J'aurais répondu quelque chose de similaire : il est essentiel d'additionner les unités ensembles tout comme les dizaines, les centaines etc. donc d'aligner les chiffres de la manière de ton post ci-dessus. Peut-être aussi en décomposant les nombres de la manière suivante : $123=100+20+3$ et $246=200+40+6$ et en repassant par le concret si l'élève n'est pas convaincu(e).
    J'ai donc $100+20+3+200+40+6$ euros au total, quelle somme d'argent ai-je? On voit bien qu'il ne s'agit pas de faire $6+2$ ici par exemple (mettre le $6$ correspondant au chiffre des unités de $246$ sous le chiffre des dizaines de $123$ : cela n'a aucun sens concret ni mathématique). 
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (November 2023)
    Allez savoir pourquoi, cette question étant assez intuitive… après tout, ce n'est pas tous les jours qu'on se demande pourquoi les opérations sont posées de la sorte (arrivé à un stade on "sait" intuitivement et on applique inconsciemment la décomposition dans notre tête)… j'imaginais qu'il y aurait eu plus à dire. Finalement, à vous lire, il semblerait que pas tant que ça. Quoi qu'il en soit, merci quand même d'avoir pris le temps de répondre. :)
  • lourrran
    Modifié (November 2023)
    Déjà, point essentiel, au moment de revenir vers cet élève, je prendrai bien soin d'avoir avec moi une collection de billets de Monopoly. Plein de billets de 1, de 10 et de 100.

    Quelle est la question derrière la question ? 
    Je répondrais à cet élève par différentes questions. En tout premier, comment l'élève lit le nombre 123. Est-ce que cette écriture est parfaitement comprise. A priori, j'ai l'impression qu'il y a quelque chose à creuser de ce côté là. C'est vraiment la première question à poser.
    Ne pas lire la suite si il s'avère qu'en fait, c'est l'écriture décimale qui n'est pas comprise.

    Ensuite, considérons que cette question a été posée par un élève qui comprend bien l'écriture des nombres (centaines puis dizaines puis unités).

    On parle des opérations. Pas uniquement de l'addition mais aussi de la multiplication.
    Il y a une propriété qui est 'magique', c'est que 1000x1=100x10=10x100=1x1000=10000. Et c'est grâce à cette propriété que les multiplications marchent.
    Et dans l'addition présentée en exemple, il n'y a pas de retenue. Peut-être que ce sont justement par/pour ces retenues que cette disposition des opérations marche si bien.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Math Coss
    Modifié (November 2023)
    C'est important que les unités, les dizaines, etc. soient dans la même colonne pour les additions et les soustractions mais pas pour les multiplications, du moins pour les facteurs – mais c'est important pour les produits intermédiaires parce qu'on va les ajouter. On peut parfaitement poser une multiplication de la façon suivante.\[\begin{array}{c@{}c@{}c@{}c}2&4&\\&&7\\\hline&&2&8\\&1&4&\bullet\\\hline&1&6&8\end{array}\]
  • AlainLyon
    Modifié (November 2023)
    Parce que cela permet de visualiser et réaliser les algorithmes numériques d'addition et de multiplication des entiers en commençant par le chiffre de droite et la convention de commencer par le chiffre de droite vient de ce que l'écriture alphabétique va de gauche à droite et utilise la main droite. On peut voir raison de cette rupture de symétrie gauche-droite c'est que dans le monde il y a 16% de gauchers pour 84% de droitiers selon l'excellent site donné dans le lien qui suit https://www.lesgauchers.com/
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • Pourquoi plaçons-nous les chiffres se rapportant à des unités du même ordre dans les mêmes colonnes lorsque nous effectuons des opérations ?
    Pour minimiser les risques d’erreurs dans le calcul. Ça me semble la seule raison. On peut en effet écrire des additions en ligne, par exemple.
    C’est comme pour le produit matriciel avec des exemples : quand on débute, on place la deuxième matrice en exposant de la première.
    Au passage, la question ne semble pas être « pourquoi cet algorithme pratique fonctionne ».
  • Cela me parait intéressant de relier cette question avec la question des unités du système de mesure.
    On met les centimètres dans la colonne des centimètres, les décimètres dans celle des décimètres, etc.
    D'ailleurs, on le fait déjà avec les mots "unités", "dizaines", "centaines", "milliers", etc.
  • Soc
    Soc
    Modifié (November 2023)
    Avant de lui répondre, demande lui de tête combien font 0,12 + 0,3. Tu saurais alors comment il voit les nombres.
    S'il se trompe, tu pourras alors lui demander "Combien font 12 centièmes plus 3 dixièmes?".
    Ensuite tu pourras finalement répondre à sa question: "Parce qu'on additionne les choux avec les choux et les carottes avec les carottes.".
    Pour les multiplications c'est une autre histoire!
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • salut

    il faut d'ailleurs aller voir à l'étranger comment les élèves posent ces opérations (en particulier pour la multiplication (à la chinoise) et la division (à la russe))et alors on se rend compte que c'est purement culturel et algorithmique et que la disposition spatiale (positionnement de cette opération sur la feuille) n'a pour seul but que la facilitation de son exécution (plus ou moins mentale)

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • L'inconvénient d'aligner les nombres est que quand les élèves posent des multiplications on se retrouve avec 1,3x1,3=16,9.
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • En effet, je n'ai pas répondu au "pas autrement" . Et bien si on peut faire autrement. Le tout c'est de comprendre ce que l'on compte.
  • Pour la multiplication, il ne faut pas paralléliser mais perpendiculariser.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
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