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Théorèmes de Sylow démonstration

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Réponses

  • Modifié (November 2023)
    Ah d'accord oui tu as raison. 
    En fait j'utilise la structure de $P$ et $Q$ pour démontrer que $card (P \times Q)$ est une puissance de $p$.
  • Modifié (December 2023)
    $\newcommand{\card}{\mathrm{\,}}$Bonsoir.
    J'ai fait une pause, beaucoup de travail au collège.
    La suite et fin de la démonstration. 
    Pour l'encadré rouge, je crois avoir compris mais je ne suis pas sûr.
    Pour la première formule, le cours dit que : $\card  X= \card  X^G +\displaystyle\sum_{i=1}^k [G : S_{x_i} ]$, où $(x_1, \cdots, x_k)$ est un système de représentants pris dans chaque orbite non réduite à un point.
    Ici on a vu que chaque orbite est égale à $X$, donc elle ne peut pas être réduite à un point car $\card  X=N_p$. Si $N_p=1$, cela contredit $N_p \equiv 1 [p]$.
    Pour le vert j'ai finalement réussi je crois.
    On a $|G|=p^n q =\card  N_G(P) \times [G : N_G(P)]$ mais $\card  N_G(P)= p^n q'$, en simplifiant on trouve $\boxed{q=q'  [G : N_G(P)]},$ d'où le résultat voulu.

  • Modifié (December 2023)
    Pour l'encadré rouge, ce que tu écris est bien compliqué. C'est seulement l'équation aux classes classique : $Card(\mathcal{O}_P)=Card(G)/Card(St_P)$ où $P$ est un $p$-Sylow de $G$, $\mathcal{O}_P$ est l'orbite de $P$ pour l'action de conjugaison de $G$ sur $X$ et $St_P$ est le stabilisateur de $P$ pour cette action.
    En remplaçant tout ceci par ce qui est écrit dans la preuve, on a directement l'encadré rouge.
  • Ah d'accord merci je me suis compliqué la vie inutilement. 
    Il reste un dernier corollaire pour clore cette partie sur les groupes de Sylow. 
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