Convexité et croissance des dérivées discrètes

Pomme de terre

Bonjour à tous
Je me pose une question au sujet de la convexité (le point 3), pour laquelle je vous donne un peu de contexte ci-dessous. Les deux premiers points sont des exercices de niveau prépa / L1-L2, vous êtes libres d'y répondre pour commencer.

Soit $f$ une fonction de $\R \to \R$. On considère les propositions suivantes :

$(H_1)$ la fonction $f$ est convexe ;

$(H_2)$ pour tout  $a \in \R_+^*$, la fonction $x \mapsto f(x+a) - f(x)$ est croissante.

1. Montrer que $(H_1) \implies (H_2)$.

2. Montrer que $(H_2) \implies (H_1)$ si $f$ est continue.

3. Les propositions $(H_1)$ et $(H_2)$ sont-elles équivalentes ?

Tout ce que je sais à ce stade, c'est que les éventuels contre-exemples sont nécessairement très moches.

Calli

Bonjour,
Soit $f:\Bbb R\to\Bbb R$ non continue et additive (par exemple la forme $\Bbb Q$-linéaire qui donne la coordonnée de $x$ sur un vecteur fixé d'une $\Bbb Q$-base de $\Bbb R$). Alors $f$ vérifie $(H_2)$ mais pas $(H_1)$.

Calli

Par ailleurs on peut montrer que, pour toute solution $f$ de $(H_2)\wedge\neg(H_1)$, l'ensemble $E$ des points de continuité de $f$ est dénombrable en appliquant le lemme suivant.

Lemme : Soit $E\subset \Bbb R$ tel que, pour tout $a\in\Bbb R$, $E\mathrel{\Delta} (E+a)$ est dénombrable (où $\Delta$ est la différence symétrique). Alors soit $E$ est dénombrable, soit $\Bbb R\setminus E$ est dénombrable.

En effet, les fonctions $x\mapsto f(x+a)-f(x)$ ont toute un nombre dénombrable de discontinuités, car elles sont monotones. Donc $E\mathrel{\Delta} (E+a)$ est dénombrable pour tout $a$. Puis on applique le lemme. Et dans le cas où $\Bbb R\setminus E$ serait dénombrable, on montre que $f$ est mid-convexe, puis convexe sur les dyadiques, puis convexe sur $E$ par densité, puis finalement que $E=\Bbb R$ en réutilisant $(H_2)$. Ainsi $f$ vérifie $(H_1)$ mais c'est absurde, donc c'est $E$ qui est dénombrable.

Chaurien

Calli, excellente idée : comme exemple de fonction vérifiant $(H_2)\wedge\neg(H_1)$ tu cites une application de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ qui est $\mathbb Q$-linéaire mais non $\mathbb R$-linéaire. L'ensemble des points de continuité d'une telle application est vide.

Ensuite tu dis que pour toute fonction $f$ vérifiant $(H_2)\wedge\neg(H_1)$, l'ensemble des points de continuité est (au plus) dénombrable.
Existerait-il une  fonction $f$ vérifiant $(H_2)\wedge\neg(H_1)$ et qui ait quand même quelques points de continuité ?

Pomme de terre

@Calli : Une idée lumineuse !

@Chaurien : tout fonction $f$ vérifiant $(H_2)$ est mid-convexe. Il s'ensuit que soit $f$ est convexe, soit $f$ n'est bornée sur aucun intervalle ouvert. En particulier, une fonction vérifiant $(H_2) \wedge \neg (H_1)$ n'admet aucun point de continuité.

Calli

Ah oui, ta justification des discontinuités est plus forte et plus rapide que la mienne @Pomme de terre !

bisam

Sauf erreur de ma part, une fonction convexe est automatiquement dérivable à droite et dérivable à gauche en tout point où l'on peut définir ces deux notions, c'est-à-dire en tout point qui n'est pas une extrémité de l'intervalle de définition.

En particulier, une fonction convexe définie sur $\R$ est toujours continue.

En effet, une fonction est convexe sur un intervalle $I$ si et seulement si pour tout $a\in I$, la fonction $\tau_a:x\in I\setminus\{a\} \mapsto \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ est croissante. On en déduit avec le théorème de la limite monotone qu'en un point $a$ intérieur à $I$, la fonction $\tau_a$ possède une limite à gauche et une limite à droite en $a$.

A fortiori, $f$ est continue à droite et à gauche en tout point intérieur à $I$ donc continue en ces points.

Après deux secondes de réflexion, je m'aperçois que je réponds à côté de la question....
Bon, tant pis, je laisse quand même cette réponse qui ne sert pas à grand chose.

Pomme de terre

@Bisam, merci pour ton intérêt ! Attention cependant : tu affirmes qu'une fonction $f$ est convexe si et seulement si les fonctions $\tau_a$ sont toutes croissantes. En fait seule l'implication directe est vraie dans le cas général. Il s'agit précisément de la question que je soulevais.

JLapin

Ses fonctions ne sont pas celles de ton énoncé : leur domaine de départ est beaucoup plus grand (et il y a un dénominateur en plus et ce n’est pas la même variable, même après décalage)

Pomme de terre

En effet, c'est moi qui ai mal lu ! L'arroseur arrosé...