Convexité et croissance des dérivées discrètes

Pomme de terre
Modifié (November 2023) dans Analyse
Bonjour à tous
Je me pose une question au sujet de la convexité (le point 3), pour laquelle je vous donne un peu de contexte ci-dessous. Les deux premiers points sont des exercices de niveau prépa / L1-L2, vous êtes libres d'y répondre pour commencer.
Soit $f$ une fonction de $\R \to \R$. On considère les propositions suivantes :
$(H_1)$ la fonction $f$ est convexe ;
$(H_2)$ pour tout  $a \in \R_+^*$, la fonction $x \mapsto f(x+a) - f(x)$ est croissante.
1. Montrer que $(H_1) \implies (H_2)$.
2. Montrer que $(H_2) \implies (H_1)$ si $f$ est continue.
3. Les propositions $(H_1)$ et $(H_2)$ sont-elles équivalentes ?
Tout ce que je sais à ce stade, c'est que les éventuels contre-exemples sont nécessairement très moches.

Réponses

  • Calli
    Modifié (November 2023)
    Bonjour,
    Soit $f:\Bbb R\to\Bbb R$ non continue et additive (par exemple la forme $\Bbb Q$-linéaire qui donne la coordonnée de $x$ sur un vecteur fixé d'une $\Bbb Q$-base de $\Bbb R$). Alors $f$ vérifie $(H_2)$ mais pas $(H_1)$.
  • Calli
    Modifié (November 2023)
    Par ailleurs on peut montrer que, pour toute solution $f$ de $(H_2)\wedge\neg(H_1)$, l'ensemble $E$ des points de continuité de $f$ est dénombrable en appliquant le lemme suivant.
    Lemme : Soit $E\subset \Bbb R$ tel que, pour tout $a\in\Bbb R$, $E\mathrel{\Delta} (E+a)$ est dénombrable (où $\Delta$ est la différence symétrique). Alors soit $E$ est dénombrable, soit $\Bbb R\setminus E$ est dénombrable.
    En effet, les fonctions $x\mapsto f(x+a)-f(x)$ ont toute un nombre dénombrable de discontinuités, car elles sont monotones. Donc $E\mathrel{\Delta} (E+a)$ est dénombrable pour tout $a$. Puis on applique le lemme. Et dans le cas où $\Bbb R\setminus E$ serait dénombrable, on montre que $f$ est mid-convexe, puis convexe sur les dyadiques, puis convexe sur $E$ par densité, puis finalement que $E=\Bbb R$ en réutilisant $(H_2)$. Ainsi $f$ vérifie $(H_1)$ mais c'est absurde, donc c'est $E$ qui est dénombrable.
  • Chaurien
    Modifié (November 2023)
    Calli, excellente idée : comme exemple de fonction vérifiant $(H_2)\wedge\neg(H_1)$ tu cites une application de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ qui est $\mathbb Q$-linéaire mais non $\mathbb R$-linéaire. L'ensemble des points de continuité d'une telle application est vide.
    Ensuite tu dis que pour toute fonction $f$ vérifiant $(H_2)\wedge\neg(H_1)$, l'ensemble des points de continuité est (au plus) dénombrable.
    Existerait-il une  fonction $f$ vérifiant $(H_2)\wedge\neg(H_1)$ et qui ait quand même quelques points de continuité ?
  • Pomme de terre
    Modifié (November 2023)
    @Calli : Une idée lumineuse !
    @Chaurien : tout fonction $f$ vérifiant $(H_2)$ est mid-convexe. Il s'ensuit que soit $f$ est convexe, soit $f$ n'est bornée sur aucun intervalle ouvert. En particulier, une fonction vérifiant $(H_2) \wedge \neg (H_1)$ n'admet aucun point de continuité.
  • Ah oui, ta justification des discontinuités est plus forte et plus rapide que la mienne @Pomme de terre !
  • bisam
    Modifié (November 2023)
    Sauf erreur de ma part, une fonction convexe est automatiquement dérivable à droite et dérivable à gauche en tout point où l'on peut définir ces deux notions, c'est-à-dire en tout point qui n'est pas une extrémité de l'intervalle de définition.
    En particulier, une fonction convexe définie sur $\R$ est toujours continue.

    En effet, une fonction est convexe sur un intervalle $I$ si et seulement si pour tout $a\in I$, la fonction $\tau_a:x\in I\setminus\{a\} \mapsto \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ est croissante. On en déduit avec le théorème de la limite monotone qu'en un point $a$ intérieur à $I$, la fonction $\tau_a$ possède une limite à gauche et une limite à droite en $a$.
    A fortiori, $f$ est continue à droite et à gauche en tout point intérieur à $I$ donc continue en ces points.

    Après deux secondes de réflexion, je m'aperçois que je réponds à côté de la question....
    Bon, tant pis, je laisse quand même cette réponse qui ne sert pas à grand chose.
  • Pomme de terre
    Modifié (November 2023)
    @Bisam, merci pour ton intérêt ! Attention cependant : tu affirmes qu'une fonction $f$ est convexe si et seulement si les fonctions $\tau_a$ sont toutes croissantes. En fait seule l'implication directe est vraie dans le cas général. Il s'agit précisément de la question que je soulevais.
  • JLapin
    Modifié (November 2023)
    Ses fonctions ne sont pas celles de ton énoncé : leur domaine de départ est beaucoup plus grand (et il y a un dénominateur en plus et ce n’est pas la même variable, même après décalage)
  • En effet, c'est moi qui ai mal lu ! L'arroseur arrosé...
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