Si $E$ est un espace de Banach, alors $T: E \to L^2(X)$ est continue

APf

Bonjour, je suis en train d'essayer de résoudre le problème suivant.

EXo. Considère les hypothèses suivantes (que j'ai séparées délibérément pour pouvoir les étiqueter en fonction de la manière dont chaque hypothèse affecte le problème) :

(A) $E$ est un espace vectoriel normé.

(B) $(X, \mu)$ est mesuré.

(C) $T: E \to L^1(X)$ est linéaire.

(D) $T: E \to L^{1}(X)$ est continue.

(E) $\forall x \in E$, on a $T(x) \in L^2(X)$.

Montrer que :

i. Si $E$ est un espace de Banach, alors $T: E \to L^2$ est une application continue. (Indication: montrer que $\{x \in E \,|\, \|T(x)\|_{2} \leq C\}$ pour tout $C > 0$ est fermé dans $E$).
ii. En éliminant l'hypothèse de complétude sur $E$, montrer un exemple où $T$ n'est pas continue.

J'ai réussi à prouver l'indication en utilisant la caractérisation séquentielle de la fermeture. Cependant, je ne sais pas comment utiliser cela. Voici ma tentative et quelques questions pour approfondir le problème i.

1. - D'abord, je dois vérifier que $T: E \to L^2$ est linéaire. J'avance par définition : soient $x, y \in E$ et $\lambda \in \mathbb{R}$. Alors, $T(x + \lambda y) = T(x) + \lambda T(y)$ à cause de (C). De plus, à cause de (E), $T(x) \in L^{2}$ et $T(y) \in L^{2}$, $\color{blue}{\text{ce qui montre que $T: E \to L^{2}$ est bien une application linéaire}}$.
2.  Si $T: E \to L^{2}$ est une application linéaire, alors pour montrer que $T$ est continue (et en regardant la manière dont nous voulons utiliser l'indication) nous montrons qu'elle est bornée dans la boule unitaire fermée, c'est-à-dire nous devons montrer $$exists C > 0 \forall x \in E (\|x\| \leq 1 \implies \|T(x)\|_{2} \leq C)$$Soit $x \in E$, alors selon l'indication, $C_{N} := \{x \in E: \|T(x)\|_{2} \leq C, \forall C > 0\}$ est fermé dans $E$. Je sais qu'étant donné que $C_{N}$ est fermé dans $E$ et que $E$ est un espace complet, je peux dire que $C_{N}$ est également complet, $\color{red}{\text{mais je suis bloqué sur la manière d'utiliser cela à mon avantage dans la preuve}}$.
3.  En laissant de côté le résultat précédent un moment. D'autre part, en raison de (E), je sais que $T(E) \subset L^{2}$. Comme la  l'image réciproque  préserve les inclusions, $E \subseteq T^{-1}(L^{2})$. Par définition, $T^{-1}(L^{2}) = \{x \in E: T(x) \in L^{2}\}$, et $T(x) \in L^{2}$ signifie que $\|T(x)\| \leq C$ pour un certain $C > 0$. Cela ressemble aux ensembles $C_{N}$, donc il semble que je puisse dire $E \subseteq \cup_{N \in N}C_{N}$ (*) et cela semble tenir.
4.  J'ai besoin de réfléchir aux boules. Comme $E$ en tant qu'espace vectoriel normé est ouvert en lui-même, $int(E) = E = \emptyset$, et donc $\exists N$ tel que $int(C_N) \neq \emptyset$ en utilisant mon résultat précédent (*). Cela signifie également que $\exists y \in E, \exists r > 0$ tel que $B(y, r) \subseteq C_{N}$.

Cependant, je ne sais pas comment avancer davantage. Si ces raisonnements précédents sont valides et utiles ici, je ne trouve pas comment les connecter pour progresser dans la preuve. En particulier, je ne vois pas l'importance de l'hypothèse de complétude sur $E$, qui semble cruciale car elle est référencée dans le problème suivant que je n'ai pas encore abordé. De plus, mon résultat $E \subseteq \cup_{N \in N}C_{N}$ semble fonctionner sans avoir besoin d'assumer autre chose que $T(E) \subseteq L^{2}$, sans rien supposer sur la fermeture ou d'autres propriétés des ensembles $C_{N}$. Ici non plus, je ne vois pas comment appliquer l'indication du problème.

Des conseils ? Merci d'avance.

Poirot

Ton ensemble $C_N$ est très mal défini.

Il s'agit d'utiliser le théorème de Baire ici (et donc la complétude de $E$). Notons $F_n = \{x \in E \mid ||T(x)||_2 \leq n\}$. Alors pour tout $n$, $F_n$ est un fermé, et on a clairement $E = \bigcup_{n \in \mathbb N} F_n$. Le théorème de Baire implique qu'il existe un entier $n$ tel que $F_n$ est d'intérieur non vide. Soit alors $y \in F_n$ et $r > 0$ tels que $\overline{B(y, r)} \subset F_n$. Finalement, si $x \in E$ est tel que $||x|| \leq 1$, on a $||T(y+rx)||_2 \leq n$ puisque $y+rx \in \overline{B(y, r)}$, et donc $$||T(x)||_2 \leq \frac{n+ ||T(y)||_2}{r}.$$

APf

Merci beaucoup, Poirot. Vous avez raison, j'aurais dû écrire $C_{N}:=\{x\in E: \|T(x)\|_{2}\leq N\,\forall N>0\}$. C'était une erreur très grave. Notons $F_{n}:=\{x\in E: \|T(x)\|_{2}\leq n\}$ Il y a quelque chose dont je ne suis pas sûr de bien comprendre : lorsque vous écrivez $$E=\cup_{n\in N}F_{n}$$ utilisez-vous le fait que $F_{n}$ est fermé ? Ou s'agit-il d'une égalité entre ensembles qui peut être démontrée comme j'essayais de le faire dans mon travail précédent ?

Poirot

Ton $C_N$ est encore mal défini, tu ne peux pas quantifier sur $N$ entre accolades !

Non, l'égalité $$E = \bigcup_{n \in \mathbb N} F_n$$ se montre directement par double inclusion (les éléments de l'ensemble de droite sont dans $E$ par définition, et réciproquement, tout élément de $E$ a une image par $T$ qui a une norme $2$ finie donc majorée par un entier). Le caractère fermé est utilisé quand on applique le théorème de Baire.

APf

Proposition. $F_{n}=\{x\in E: |T(x)|_{2}\leq n\}$ et $T(E)\subset L^{2}$. Alors, $E=\cup_{n\in \mathbb{N}}F_{n}$.
Preuve : Nous démontrons l'égalité entre ensembles en montrant les deux inclusions.Inclusion $E\subseteq \cup_{n\in \mathbb{N}}F_{n}$. Puisque $T(E)\subset L^{2}$, l'image réciproque donne $E\subset T^{-1}(L^{2})$, et donc $E\subset \{x\in E: T(x)\in L^{2}\}$. Comme $T(x)\in L^{2}$ implique $\|T(x)\|_{2}\leq n$ pour un certain $n>0$, alors $E\subset \{x\in E: \|T(x)\|\leq n\}$ pour un certain $n\in \mathbb{N}$. Ainsi, $E\subseteq \cup_{n\in \mathbb{N}}F_{n}$.Inclusion : $\cup_{n\in \mathbb{N}}F_{n}\subseteq E$. Soit $x\in \cup_{n\in \mathbb{N}}F_{n}$, alors il existe un certain $n\in \mathbb{N}$ tel que $x\in F_{n}$, et donc $x\in E$.
Ainsi, $E=\cup_{n\in \mathbb{N}}F_{n}$.
PS : Je viens de voir votre nouveau message pendant que j'écrivais la démonstration de l'égalité. Quoi qu'il en soit, je l'annexe au cas où elle ne serait pas encore correcte. Merci, Poirot, pour la correction des quantificateurs. Leçon apprise

APf

Merci beaucoup pour la correction précédente, cela m'a pris un peu de temps pour comprendre, mais j'y suis parvenu. Pour le problème deux, compte tenu des conditions du problème, je réfléchis s'il existe un moyen de construire un espace E qui ne soit pas complet en utilisant $L^1 $et $L^2$. Je sais que $L^1 \cap L^2$ est complet avec la norme $\|f\|=\|f\|_{1}+\|f\|_{2}$. Existe-t-il une norme pour laquelle $L^{1}\cap L^{2}$ ne soit pas complet ?

APf

2. Donner un exemple où $E$ n'est pas complet et $T$ n'est pas continue.

Cela m'a pris beaucoup de temps. Voici ma solution, quelqu'un peut-il me dire si elle est correcte?

Solution. Nous allons diviser la solution en deux étapes. Dans la première étape, nous montrons que l'espace $E=L^{1}([0,1])\cap L^{2}([0,1])$ n'est pas complet avec la norme $\|\cdot\|_{L^1}$ et dans la deuxième étape, nous montrons que $T: E\to L^{2}$ définie par $T(f)=f$ n'est pas continue.

• Étape 1. Nous montrons que $(E,\|\cdot\|_{1})$ n'est pas un espace complet. À cette fin, nous observons d'abord que $L^{1}([0,1])\cap L^{2}([0,1])\subseteq L^{1}([0,1])$ par définition de l'intersection. Nous savons que si un espace vectoriel normé $X$ est complet, alors pour tout sous-ensemble $Y$ de $X$, $Y$ est complet si et seulement si $Y$ est fermé, et par la contraposée, $Y$ n'est pas complet si et seulement si $Y$ n'est pas fermé. Puisque $L^{1}([0,1])$ est complet avec la norme $\|\cdot\|_{1}$, alors pour montrer que $E$ n'est pas complet, il suffit de montrer que $E$ n'est pas fermé. Nous montrons que $E$ n'est pas fermé en montrant que $\bar{E}\not=E$. Pour ce faire, nous montrons en fait que $\overline{L^{1}([0,1)])\cap L^{2}([0,1])}^{L^{1}[0,1]}=L^{1}([0,1])$, c'est-à-dire que $E=L^{1}([0,1)])\cap L^{2}([0,1])$ est dense dans $L^{1}([0,1])$ et alors le résultat s'ensuit car dans ce cas, nous aurions $\bar{E}\not=E$. Donc, pour montrer que $L^{1}([0,1)])\cap L^{2}([0,1])$ est dense dans $L^{1}([0,1])$. D'une part, nous pouvons essayer de montrer que pour tout $f\in L^{1}([0,1])$, il existe une séquence $(f_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ dans $L^{1}([0,1)])\cap L^{2}([0,1])$ telle que $\|f_{n}-f\|_{1}\to 0$. Sur ce chemin, je n'ai pas de succès. Je n'arrive pas à construire la séquence, et mon intuition n'est pas bonne non plus. Donc, toute direction est appréciée ici. D'autre part, je sais que l'espace des fonctions $C^{\infty}$ à support compact dans $\Omega$, noté $D(\Omega)$, est dense dans $L^{p}(\Omega)$. Je sais (sans preuve) que l'intersection $L^{1}([0,1)])\cap L^{2}([0,1])$ contient en particulier $D(\Omega)$, qui est dense dans $L^{1}([0,1])$ en particulier. Ainsi, pour tout $f\in L^{1}([0,1])$, il doit exister $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ qui converge vers $f$ dans $L^{1}([0,1])$ et donc $L^{1}([0,1)])\cap L^{2}([0,1])$ est dense dans $L^{1}([0,1])$. En résumé, nous avons que $E$ n'est pas complet.

• Étape 2. Pour montrer que $T: E\to L^{2}([0,1])$ définie comme $T(f)=f$ n'est pas une application linéaire continue. Puisque $T$ est linéaire, pour montrer que $T$ n'est pas continue, il suffit de trouver une séquence $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ dans $E-\{0\}$ telle que $\frac{\|T(f_n)\|_{2}}{\|f_{n}\|_{E}}\to +\infty$ lorsque $n\to+\infty$. Je propose $f_{n}(x)=\frac{n^{3/4}}{e^{nt}}$ qui est dans $(E,\|\cdot\|_{1})$ car $\|f_{n}\|_{1}<\infty$. D'autre part, nous avons $\frac{\|T(f_n)\|_{2}}{\|f_n\|_E}\to +\infty$. Ainsi, $T$ n'est pas une application linéaire continue de $E$ à $L^{2}$.

Est-ce correct? Si c'est le cas, y a-t-il un moyen de raccourcir cela?
Merci d'avance.

gebrane

Je ne comprends pas ce que tu fais car $L^{1}([0,1])\cap L^{2}([0,1])= L^{2}([0,1])$

APf

J'essayais de montrer que $(L^{1}([0,1)]\cap L^{2}([0,1]),\|\cdot\|_{1})$ est dense dans $(L^{1}([0,1]),\|\cdot\|_{1})$ afin de garantir que $T: E\to L^{1}([0,1]), f\mapsto f$ soit continue. C'est pourquoi je considère les espaces $(L^{1}([0,1])\cap L^{2}([0,1]),\|\cdot\|_{1})$ et non l'espace $(L^{1}([0,1])\cap L^{2}([0,1]), \|\cdot\|_{2})$. Je ne peux pas déterminer si $(L^{1}([0,1])\cap L^{2}([0,1]),\|\cdot\|_{1})=(L^{2}([0,1]),\|\cdot\|_{2})$. Je comprends qu'en dimension finie $L^{2}([0,1)\subseteq L^{1}([0,1])$, alors en tant qu'ensembles $L^{1}([0,1])\cap L^{2}([0,1])= L^{2}([0,1])\subseteq L^{1}([0,1])$.

APf

D'accord, je crois avoir saisi votre observation. Je retournerai au crayon et au papier maintenant. Cependant, je ne sais pas si ma solution est incorrecte.

Poirot

Sur n'importe quel espace vectoriel de dimension infinie il existe des normes ne le rendant pas complet. Il suffit d'en fixer une base (axiome du choix) et de considérer la norme $1$ associée à ladite base.