Si $A$ et $B$ commutent alors $e^{A+B}=e^Ae^B$

visiteur

Bonjour
pour justifier ce résultat je fais le raisonnement suivant : 

-$e^A$ est la limite d'une suite de polynômes $P_n(A)$.
-$e^B$ est la limite d'une suite de polynômes $Q_n(B)$ 
-$P_n(A)$ et $Q_n(B)$ commutent.
-par passage à la limite on obtient le résultat.

Est-ce que cette justification est valable ?

bd2017

Non. C'est trop vague à mon sens pour être convaincant. Ce n'est pas un raisonnement mais une idée de raisonnement.
Tu dois détailler et voir si cela tient la route.

Foys

Ce raisonnement montre plutôt que $e^A e^B = e^B e^A$.

Ce qui est le plus facile à mon avis (et valable dans toutes les algèbres de Banach):

1°) pour tous $X,Y$ commutant: $X$ et $e^Y$ commutent (par un passage à la limite analogue au tien).

2°) Pour tout $t\in \R$, $e^{tA} e^{-tA} = 1$ (dériver et utiliser 1°)

3°) Pour tout $t\in \R$, $e^{t(A+B)}e^{-tA} e^{-tB} = 1$ (à nouveau, dériver puis utiliser ce qui précède). Puis conclure.

visiteur

@Foys merci de m'avoir corrigé

Math Coss

Pourquoi ne pas développer $(A+B)^k/k!$ avec la formule du binôme pour utiliser un produit de Cauchy (absolument convergent) ?

JLapin

Oui, ça fonctionne aussi.