Si $A$ et $B$ commutent alors $e^{A+B}=e^Ae^B$ — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Si $A$ et $B$ commutent alors $e^{A+B}=e^Ae^B$

Modifié (November 2023) dans Algèbre
Bonjour
pour justifier ce résultat je fais le raisonnement suivant : 

-$e^A$ est la limite d'une suite de polynômes $P_n(A)$.
-$e^B$ est la limite d'une suite de polynômes $Q_n(B)$ 
-$P_n(A)$ et $Q_n(B)$ commutent.
-par passage à la limite on obtient le résultat.

Est-ce que cette justification est valable ?

Réponses

  • Modifié (November 2023)
    Non. C'est trop vague à mon sens pour être convaincant. Ce n'est pas un raisonnement mais une idée de raisonnement.
    Tu dois détailler et voir si cela tient la route.
     
  • Modifié (November 2023)
    Ce raisonnement montre plutôt que $e^A e^B = e^B e^A$.
    Ce qui est le plus facile à mon avis (et valable dans toutes les algèbres de Banach):
    1°) pour tous $X,Y$ commutant: $X$ et $e^Y$ commutent (par un passage à la limite analogue au tien).
    2°) Pour tout $t\in \R$, $e^{tA} e^{-tA} = 1$ (dériver et utiliser 1°)
    3°) Pour tout $t\in \R$, $e^{t(A+B)}e^{-tA} e^{-tB} = 1$ (à nouveau, dériver puis utiliser ce qui précède). Puis conclure.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • @Foys merci de m'avoir corrigé
  • Modifié (November 2023)
    Pourquoi ne pas développer $(A+B)^k/k!$ avec la formule du binôme pour utiliser un produit de Cauchy (absolument convergent) ?
  • Oui, ça fonctionne aussi.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!