Diagonalisation d'une matrice

M4d

Diagonaliser, si possible cette matrice 
    $$A=\begin{pmatrix}1&2&-2\\2&1&-2\\2&2&-3\end{pmatrix}$$

hx1_210

?

M4d

C'est la question qu'on m'a posé,  que de diagonaliser la matrice 

AlainLyon

@M4d Diagonaliser avec les yeux : il y a une valeur propre et un vecteur propre faciles, les as-tu vu?

Ensuite, révises ce que tu connais de la trace et du déterminant d'une matrice.. si le calcul des racines d'un polynôme de degré 2 est au programme dans le cas d'un problème donné au lycée.

Cela fonctionne bien parce que l'ordre de $A$ est très petit, mais si tu deviens météorologue tu aura des calculs à faire sur des matrices de grands ordres (couramment d''ordres 600 000 à 1 000 000) et dans ce cas il faut, comme disent les cyclistes, changer de braquet.

Je termine par ce quoi j'aurai dû commencer, le corps de nombres n'est pas spécifié, pour cet exemple $\mathbb{C}$ ou $\mathbb{R}$ sont des extentions de $\mathbb{Q}$ qui vont bien puisque l'écriture des coefficients que je lis interprète ceux-ci comme des entiers relatifs!

bd2017

Bonjour
Une valeur propre facile c'est un peu fort. Mais c'est vrai que @AlainLyon a raison, en faisant un effort  je vois cette valeur propre. Mais je ne pense pas que ce conseil est pour le pdq. 
Ceci étant  dit : @M4d il est temps de lire la charte. Je trouve que tu pourrais commencer à utiliser le Latex et puis on ne connait pas ton niveau, tes cours. Que fais-tu pour essayer de résoudre ton exercice ?

visiteur

@AlainLyon       calculer le déterminant de la matrice $A$, cela revient à tester si $0$ est une valeur propre, quelle est la méthode qui est optimale entre le développement selon une colonne ou la règle de Sarrus (Je ne connais pas la règle de Sarrus).

visiteur

@M4d   la matrice est $A=\begin{pmatrix}1&2&-2\\2&1&-2\\2&2&-3\end{pmatrix}$

bd2017

@visiteur dans ce genre d'exercice sauf exception , on ne calcule pas le déterminant. On sait ce qu'il faut faire. C'est à @M4d de commencer à travailler. Il doit dire ce qu'il a fait et ce qui lui pose problème.

AlainLyon

@visiteur Si tu as trouvé la valeur propre facile, pourquoi le déterminant te donne-t-il le produit des deux autres?

Effectivement pour une matrice d'ordre seulement $3$ tu peux appliquer la règle de Sarrus, mais pour un ordre très grand et des coefficients de type réel (calculs météo) appliquer la formule avec les permutations perd beaucoup de temps et perd tout sens en raison du chaos numérique, connais tu des algorithmes de calcul scientifique pour le faire?

visiteur

@AlainLyon   le déterminant est le produit des valeurs propres , la trace est la somme des valeurs propres

mais l'approximation numérique est plus efficace pour calculer les valeurs propres, j'ai eu cette question à l'oral d'agrégation (modélisation), est-ce que c'est la méthode de la puissance ?

AlainLyon

@visiteur La méthode de la puissance permet d'obtenir la vp de plus grand module et est inefficace pour les autres. Les méthodes que j'ai appris consistent à fabriquer des suites récurrentes de matrices semblables qui convergent vers une matrice triangulaire, par exemple la méthode QR mais en raison de la finitude en machine de la représentation des nombres réels qui est cause de dérives numériques elles ne s'appliquent pas à tous les ordres. Un numéricien bien formé doit connaître la théorie (la mathématique) pour prouver, par exemple l'existence de vp toutes réelles et avoir un savoir-faire pour modéliser la dérive numérique. Pour les calculs météo, il y avait beaucoup de méthodes probabilistes quand j'étais étudiant, mais je ne sais pas ce qu'il en est de nos jours.

JLapin

@M4d
Ouvre ton cours et suis les méthodes adaptées à cette matrice explicite de taille 3.
Ou demande à WolframAlpha

gai requin

$A+I_3$ fait le job.

NicoLeProf

Bonjour M4d, tu as deux méthodes ici :

-> Méthode systématique qui marche tout le temps : tu calcules le polynôme caractéristique de la matrice en faisant des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes pour faciliter les calculs puis tu détermines une base de chaque espace propre pour avoir la dimension de l'espace propre concerné et enfin tu compares cette dimension avec la multiplicité de la valeur propre associée en tant que racine du polynôme caractéristique. Ceci te permettra de conclure quant à la diagonalisabilité ou à la non-diagonalisabilité de la matrice.

Tout ceci est une application directe du cours et c'est une méthode automatique qui s'acquiert avec de l'entraînement. Tu dois avoir de nombreuses ressources sur internet y compris des vidéos sur le sujet si tu trouves que ton cours n'est pas assez clair ou exhaustif.

-> Ici, il existe une méthode astucieuse qui permet de tout faire "de tête". Je regroupe les infos données : regarde d'abord $A+I_3$ et trouve une base du noyau de cette matrice. Puis, que remarques-tu en additionnant les colonnes de la matrice $A$? Qu'est-ce que cela signifie? Quelle est la dimension de $\ker(A-I_3)$ ensuite? 

Enfin, le calcul de la trace de la matrice $A$ t'aidera à conclure.

M4d

Bonjour / Bonsoir à vous les profs , j'avais du mal à me connecter sur mon compte, j'étais obligé de récupérer mon mot de passe afin de réutiliser le même compte.

M4d

Vraiment je m'excuse vu que je n'arrivais pas à me connecter 

gebrane

A quoi sert ici le calcul de la trace? Et sauf erreur cette matrice n'est pas diagonalisable

troisqua

Elle est $\R$ diagonalisable (sous-espace propre associé à la valeur propre 1 de dimension 1, et sous-espace propre associé à la valeur propre $-1$ de dimension 2). Pour le démontrer presque sans calcul:

• ajouter les trois colonnes (cela donne 1 valeur propre)
• ajouter la première et la troisième (cela donne -1 valeur propre)
• ajouter les deux dernières (cela donne un vecteur propre associé à -1 libre avec le précédent)
  

gebrane

Tu as raison. Une erreur dans mes calculs rapides sur la dimension de sous-espace propre associé à la valeur propre  $-1$.

gebrane

Et merci troiqua pour cette méthode rapide. J'ài dû oublier ces astuces de L1/L2

NicoLeProf

Le calcul de la trace après avoir vu un vecteur propre évident pour la valeur propre $1$ et un vecteur propre évident pour la valeur propre $-1$ permet de s'assurer que la multiplicité de la valeur propre $-1$ en tant que racine du polynôme caractéristique est bien égale à $2$ (et donc que seules $1$ et $-1$ sont les valeurs propres de cette matrice).

Mais on peut s'en passer si l'on remarque que $\dim (\ker(A+I_3))=2$ directement.

bisam

$\dfrac{1}{2}(A+I_3)$ est la matrice d'un projecteur de rang $1$. Cela donne immédiatement la diagonalisation.