Lieu du centre du cercle circonscrit à un triangle variable

Piteux_gore

Bonjour,
Un angle constant de sommet $S$ fixe tourne autour de son sommet, ses côtés coupant une certaine droite en les points $A, B$ ;  on demande le lieu du centre du cercle $(SAB)$.
Je subodore une conique, mais je peux me tromper...
A+

bd2017

Bonjour
Oui c'est exact. C'est une hyperbole. Je le vois par les calculs...

Si $S=(0,0)$  est le sommet  et la droite passe par les points $(1,0)$ et $(0,1)$ le lieu est la courbe d'équation

$$\cos  (2 \theta )(x^2+y^2)- (2 x y-2 x-2 y+1)=0$$

Maintenant, il faut savoir le justifier sans calculs.

Ben314159

Salut,
Si $C$ est le centre du cercle alors évidement, $CS=R=$ rayon du cercle.
Mais d'un autre coté, si $H$ est le projeté de $C$ sur la droite (fixe) $(AB)$ (c'est-à-dire le milieu de $[AB]$) alors $CHA$ est rectangle en $H$ et en utilisant le théorème de l'angle au centre, on voit que $CH=R\cos(\alpha)$ où $\alpha$ est l'angle (fixe) en $S$ du triangle $ABS$.
Le point $C$ est donc sur l'hyperbole de foyer $S$, de directrice la droite fixe et d'excentricité $e\!=\!\dfrac{1}{\cos(\alpha)}>1$.

Piteux_gore

RE
Beau raisonnement synthétique...
A+

Piteux_gore

RE
Si l'angle tourne autour de $S$ à une vitesse constante, peut-on facilement calculer les vitesses du centre de gravité et de l'orthocentre de $SAB$, qui décrivent deux droites perpendiculaires ?
A+