Comparaison sup(inf(f)) et inf(sup(f))

math65

Bonjour
J'ai quelques problèmes à comprendre la démonstration de $sup(inf (f(x, y)) \leq inf(sup(f(x, y)) $

Je comprends que l'on peut écrire pour commencer

$f(x, y) \leq sup(f(x, y), x \in A) $, avec $y \in B$ fixé.

Mais après, pourquoi peut-on appliquer $inf$ selon $y \in B$ à cette inégalité.

Merci.

bisam

Pour tout $a\in A$ et tout $b\in B$, $\ \inf(\{f(x,b)\mid x\in A\}) \leq f(a,b) \leq \sup(\{f(a,y)\mid  y\in B\})$ par définition de la borne inférieure et de la borne supérieure.

Par conséquent, pour $b\in B$, $\ \inf(\{f(x,b)\mid x\in A\})$ minore l'ensemble $\{ \sup(\{f(a,y)\mid y\in B\} ) \mid a\in A\}$ et par conséquent \[\forall b\in B, \quad \inf(\{f(x,b)\mid x\in A\})\leq \inf(\{\sup(\{f(a,y)\mid y\in B\}) \mid a\in A\})\]

Je te laisse terminer.

math65

@bisam merci cela m'a clarifié les choses.