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Extension radicale et polynôme irréductible

Modifié (November 2023) dans Algèbre
Bonjour
J'aimerais comprendre pourquoi si l'une des racines d'un polynôme irréductible s'exprime sous forme radicale alors toutes les racines de ce polynôme possèdent cette propriété.
Merci.

Réponses

  • Si $P \in k[X]$ irréductible admet une racine $\alpha$ vérifiant $\alpha^n = a$ avec $a \in k$, cela veut dire que $P$ et $X^n - a$ ne sont pas premiers entre eux dans $\overline k$, donc dans $k$. Puisque $P$ est irréductible, cela veut dire que $P \mid X^n - a$, et donc toutes les racines de $P$ vérifient $x^n = a$.
  • Modifié (November 2023)
    Bonjour Poirot
    Je ne comprends pas pourquoi il admet une racine $\alpha$ telle que $\alpha^n = a$ avec $a$ dans $k$. Pourrais-tu me détailler ce point ?
    En te remerciant.
  • Tu me dis que la racine s'exprime sous forme de radical, c'est ce que ça veut dire pour moi. Quelle est ta définition ?
  • Modifié (November 2023)
     Poirot
    J'avais mal compris le vocabulaire et donc maintenant tout s'éclaire pour moi.
    J'ai trop vite considéré que radical signifiait qui peut être construit à l'aide des 4 opérations et des racines n-ième.
    En te remerciant.
  • Modifié (November 2023)
    Il y a une différence entre "s'exprime sous forme radicale" (que je traduis comme dans mon premier message) et "est contenu dans une extension radicale". Mon ancien message que tu cites répond à une autre question (celle de comment exprimer qu'un nombre s'exprime à l'aide des opérations $+, \times$ et extraction de racines). Reprenons :
    Définition : $L/K$ est radicale lorsqu'il existe $n \in \mathbb N, K_0 = K \subset K_1 \subset \dots \subset K_n$ des extensions de $K$ avec $L \subset K_n$, $p_1, \dots, p_n$ des nombres premiers, $\alpha_1 \in K_1, \dots, \alpha_n \in K_n$ tels que pour tout $i \in \{0, \dots, n-1\}$, $K_{i+1} = K_i(\sqrt[p_i]{\alpha_i})$ et $L \subset K_n$.
    Autrement dit, une extension est radicale quand elle est contenue dans une tour d'extensions obtenues par extractions de racines d'éléments du corps précédent.
    Dans ta Remarque 3.9, le "s'exprime sous forme radicale" est à comprendre en quel sens ? Si c'est le premier sens, je t'ai donné une réponse ci-dessus, mais vu l'argument donné, ça ressemble au second sens. Dans ce cas, on a par hypothèse que $\alpha \in L$ avec $L/K$ radicale, et donc $K(\alpha) \subset L$. Il reste à voir que la clôture normale de $L/K$ est encore radicale. On le montre par récurrence sur $n$ (celui de la définition ci-dessus). Si $n=0$ il n'y a rien à montrer. Supposons maintenant le résultat vrai pour un $n \in \mathbb N$ fixé et soit $L/K$ une extension telle qu'il existe $p_1, \dots, p_{n+1}$ des nombres premiers, $\alpha_1, \dots, \alpha_{n+1} \in \overline{K}$ tels que $K_0 = K$, pour tout $i \in \{0, \dots, n\}$, $K_{i+1} = K_i(\sqrt[p_i]{\alpha_i})$ et $L \subset K_{n+1}$.
    Soit $x \in L$. Si $x \in K_n$ alors ses conjugués sur $K$ sont dans une extension radicale $M$ de $K$ par hypothèse de récurrence. Sinon, on a $x \in K_n(\sqrt[p_{n+1}]{\alpha_{n+1}})$. On voit alors facilement que les conjugués de $x$ sur $K$ sont contenus dans $K_n(\sqrt[p_{n+1}]{\alpha_{n+1}}, \zeta_{p_{n+1}})$ où $\zeta_{p_{n+1}}$ est une racine $p_{n+1}$-ième de l'unité. Ainsi, la clôture normale de $L/K$ est incluse dans $M(\zeta_{p_{n+1}})$, qui est radicale.
  • Poirot,

    Je ne vois pas ou intervient l'irréductibilité du polynôme dans le deuxième sens.
    Par ailleurs si le deuxième sens est celui de " on peut construire  alpha à l'aide des 4 opérations et des racines n-ième " pourquoi existe- t-il dans ce cas une extension radicale sur K qui contient alpha en se basant sur la définition de L/ K  donnée plus haut?
  • Bon sang, tu ne peux pas retirer l'image à laquelle je réponds... Je n'ai pas l'énergie de continuer cet échange alors que les définitions changent d'un message à l'autre.
  • Bonsoir Poirot,

    Je te prie de bien vouloir m'excuser.

    Je rétablis les deux images : 

    La première image correspond à la définition que tu m'as donnée il y a deux ans sur les nombres constructibles à l'aide des 4 opératione et des racines n-ièmes. Il faut remplacer Q par K et poser  A1=K



    La deuxième image corresond à ce qui a motivé ma demande .


    En te remerciant
  • Le "deuxième sens" est équivalent au fait d'être exprimable avec $+, \times$ et extraction de radicaux. Tu peux le montrer par double inclusion.
  • Modifié (November 2023)
    Bonjour
    J'ai essayé de mettre mes idées au clair. En voici le résumé.
    Merci de l'attention que vous y porterez.

  • Ça commence mal "soit $K$ un corps" et plus loin "appelons $K$ l'ensemble des...". A part ça, ça me semble correct. Je ne comprends pas la dernière question.
  • Bonjour Poirot,

    Le 3.9  dit:  "  En effet l'ypothèse signifie que K(alpha) est inclus dans une extension L radicale  " .

    Ma question est de savoir pourquoi on considère  K(alpha) au lieu de considérer simplement alpha pour faire la démonstration du 3.9.   Je la fais dans le 2)  du message précédent sans passer par K(alpha) mais en utilisant simplement alpha.

    Merci
  • Dans ton message tu utilises $K(\alpha)$ car tu parles de clôture normale, c'est précisément la clôture normale de $K(\alpha)$ dont il est question.
  • Poirot,

    Je dis : alpha appartient à Kr qui est radicale et je ne vois pas pourquoi Kr  =  K(alpha). Je considère M la cloture normale de Kr dans le 2) de mon message précédent.
  • Rooooh je n'ai jamais dit que $K_r = K(\alpha)$ mais on a $K(\alpha) \subset K_r$ et la clôture normale de $K(\alpha)$ est incluse dans celle de $K_r$, qui est radicale. C'est exactement le même raisonnement que dans ton image avec la Remarque 3.9, leur $L$ est ton $K_r$.
  • Modifié (November 2023)
    Poirot
    Je suis bloqué car dans le 2) de la démonstration que j'ai rédigée plus haut, je parle de M clôture normale de Kr. Je n'ai nul besoin de considérer la clôture normale de K(alpha).
    Peux-tu essayer de m'expliquer les choses autrement car je n'arrive pas à m'en sortir avec ce que tu viens de m'expliquer.
    En te remerciant pour ta patience.
  • J'ai l'impression que tu oublies ce que tu cherches à montrer. La clôture normale de $K(\alpha)$ sur $K$ est le corps de décomposition $P$, et c'est ce dernier que tu veux montrer être une extension radicale.
  • Poirot,

    Tu avais vu juste en me disant que j'ai oublié ce que je cherche à montrer à savoir que la clôture normale de K (alpha) sur K est le corps de décomposition du polynôme, ce qui m'avait complètement échappé et donc ce blocage sur ton explication qui est maintenant levé.

    j'ai l'impression que le 2) du message précédent bien qu'il ne fasse pas référence au corps de décomposition est quand même bon. A moins que n'étant peut être pas assez précis il t' a donné l'impression dans une première lecture d'être correct.
    Mais si ce 2) est incorrect pourrais tu me dire en quoi il l'est ?

    En te remerciant pour ta grande patience.
  • Je t'ai déjà dit que c'était correct puisque ton $K_r$ est le $L$ de ton livre et tu as fait exactement la même démonstration.
  • Modifié (November 2023)
    Merci
    Je vais pouvoir dormir sur mes deux oreilles !
  • Est-ce à dire que si le groupe de Galois d’un polynôme irréductible n’est pas résoluble, alors aucune de ses racines ne peut s’exprimer zvec des entiers, les 4 opérations usuelles et les racines n-iemes ?
  • En effet, du moins à partir des coefficients du polynôme.
  • Ah oui bien sûr, merci !
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