Bonjour Math65. Tu es loin d'être un nouveau sur le forum, tu as eu le temps de lire la charte, en particulier la fin du 1 :
(!) Ne demandez pas à d'autres de faire des devoirs que vous n'avez pas
le courage de faire vous-même. Par contre, si vous avez cherché sans
succès et que vous exposez ce que vous avez tenté et les résultats déjà
obtenus, il se trouvera sûrement quelqu'un pour donner un coup de pouce
ou une piste...
Si tu avais appliqué le conseil, dit ce que tu as fait, ça aurait évité les insanités de AlainLyon (b+1 est bien un majorant de E), et on aurait su où t'aider. Car les questions sont tellement détaillées qu'il y a une réponse quasi évidente à chaque fois. Probablement d'ailleurs écrite dans ton cours !
Juste pour dire que la méthode de math65 ci-dessus est également bonne. En effet il montre que pour tout $x\in E$, $x\leq f(c)$, donc $f(c)$ est un majorant de $E$, donc $c\leq f(c)$ car...
On suppose $c>f(c) $, cela signifie que il existe $b \in E$ tel que $c \geq b >f(c) $. Or, $f(b) \geq b >f(c) $ soit $ f(b) > f(c) $ Cela n'est pas cohérent car la fonction $f$ est croissante. Donc, $c\leq f(c) $.
Pour les autres questions, je n'ai pas de problème. Sauf la dernière, mais je pense que le résultat n'est plus valable car on utilise $f$ croissante dans la question 2) ?
Pour la dernière question, oui ce n'est plus valable mais il faut donner un contre exemple. Ca ne suffit pas de montrer un endroit où la démonstration ne marche pas. On pourrait avoir une autre démonstration qui marche dans le cas décroissant. Il faut trouver un exemple de $a,b$ et une fonction décroissante de $[a,b]$ dans $[a,b]$ qui n'admet pas de point fixe. Une façon de trouver place toi dans le cas $a=0,b=1$, tu peux faire un dessin, dessine la droite $y=x$ et essaye de dessiner une fonction décroissante de $[0,1] \to [0,1]$ (qui est simple pour retrouver son expression) et qui n'intersecte pas la droite $y=x$.
Oui, c'est mieux que d'autres preuves car tu n'utilises pas le fait que $\leq $ est un ordre total, ce qui donne une preuve à la portée un peu plus générale.
Réponses
Tu es loin d'être un nouveau sur le forum, tu as eu le temps de lire la charte, en particulier la fin du 1 :
Si tu avais appliqué le conseil, dit ce que tu as fait, ça aurait évité les insanités de AlainLyon (b+1 est bien un majorant de E), et on aurait su où t'aider. Car les questions sont tellement détaillées qu'il y a une réponse quasi évidente à chaque fois. Probablement d'ailleurs écrite dans ton cours !
Donc à toi de faire ...
Pour le 2), E n'est pas forcément fermé.
Merci.
Tu prends une suite xn de E qui tend vers c.
Alors on a xn plus petit que c donc f(xn) plus petit que f(c). Or xn plus petit que f(xn), donc xn plus petit que f(c) puis passage à la limite.
Tu peux aussi démontrer le 2) par l'absurde, ça fait deux méthodes si tu veux t'entraîner.
Or, $f(b) \geq b >f(c) $ soit $ f(b) > f(c) $
Cela n'est pas cohérent car la fonction $f$ est croissante.
Donc, $c\leq f(c) $.
Sauf la dernière, mais je pense que le résultat n'est plus valable car on utilise $f$ croissante dans la question 2) ?
Pour la dernière question, oui ce n'est plus valable mais il faut donner un contre exemple. Ca ne suffit pas de montrer un endroit où la démonstration ne marche pas. On pourrait avoir une autre démonstration qui marche dans le cas décroissant.
Il faut trouver un exemple de $a,b$ et une fonction décroissante de $[a,b]$ dans $[a,b]$ qui n'admet pas de point fixe.
Une façon de trouver place toi dans le cas $a=0,b=1$, tu peux faire un dessin, dessine la droite $y=x$ et essaye de dessiner une fonction décroissante de $[0,1] \to [0,1]$ (qui est simple pour retrouver son expression) et qui n'intersecte pas la droite $y=x$.