Termes entiers

TexasMain

Dans une suite d'entiers positifs ($m_1$, $m_2$, ... , $m_k$), la différence de deux termes quelconques divise exactement la somme de ces deux termes. D'après cela, quelle est la valeur maximale que peut prendre $k$ ?

TexasMain

N'importe qui?

AlainLyon

2

Math Coss

Au moins trois : 1, 2, 3.

lourrran

Au moins 4 : 3, 4, 5, 6

TexasMain

Il n’y a pas de limite supérieure à la valeur que $k$ peut prendre.

Ben314159

Salut,
Peut-être me fourvoie-je, mais il me semble aussi qu'il n'y a pas de limite : si on part d'une suite $0\!\leqslant\!m_1\!<\!m_2\!<...<\!m_k$ ayant la propriété demandée et qu'on rajoute à tout les termes un entier $d$ tel que $2d$ soit un multiple du $ppcm$ de tout les $m_i\!-\!m_j$ ($i\!>\!j$) alors la nouvelle suite continue à vérifier la propriété et on peut la rallonger en rajoutant un 0 au début. 
Par exemple, en partant de 0 < 1 et en appliquant la méthode 5 fois, on tombe sur :
0 < 117 810 < 117 840 < 117 843 < 117 844 < 117 845 < 117 846

Math Coss

Je ne dois pas bien comprendre. Si à $(1,2,3)$, liste pour laquelle le ppcm des différences est $2$, on ajoute $4$, ça ne marche pas car $4-1$ ne divise pas $4+1$.

Ben314159

Si tu part de $(1,2,3)$, le $ppcm$ des $m_i\!-m_j$, c'est $2$ donc on peut prendre $d$ (entier) quelconque, on aura toujours $2d$ multiple du $ppcm$.
En particulier, si on prend  $d\!=\!4$, la nouvelle suite, à savoir $(5,6,7)$ vérifie toujours la propriété : par exemple $7\!-\!5\!=\!2$ divise $7\!+\!5\!=\!12$.

En fait, j'ai l'impression qu'on a pas compris l'énoncé de la même façon : moi ce que je cherche, c'est un entier $k$ et des entiers $ 0\!\leqslant\!m_1\!<\!m_2\!<...<\!m_k$ tels que, pour tout $1\!\leqslant\!i\!\not=\!j\!\leqslant\!k$, l'entier $m_i\!-\!m_j$ divise $m_i\!+\!m_j$.

Math Coss

C'est moi qui ai mal lu : j'ai lu « on ajoute $m$ à la suite » et pas « on additionne $m$ à tous les termes ». My bad.

Maintenant que j'ai mieux lu, je commence à y croire !

AlainLyon

@Ben314159 Tu as mal lu l'énoncé qui est la différence de deux termes quelconques (et non consécutifs) divise leur somme. Et si j'ai bien calculé la valeur maximum pour $k$ est $3$ et l'ensemble des solutions est l'ensemble des suites de 3 termes $(0,n,2n)$ avec $n\in\mathbb{N}\backslash\lbrace 0\rbrace$!

Ben314159

C'est donc bien ce que j'avais compris (et écrit à la fin de mon précédent post).
Dans la suite (7 termes) de mon premier post, qui sont les deux termes dont la différence ne divise par la somme ?
(si tu veut plus simple, trouve moi les termes qui ne marchent pas dans 0 < 3 < 4 < 5 < 6)

LOU16

Bonjour,

Je répète en le "formalisant" ce qui a déjà été clairement dit par @Ben314159 .

$\forall n \in N_{\geqslant 2},\:\: \mathcal  S_n :=\Big\{a\in \N^n\mid \forall i \in [\![1;n-1]\!],\:\:a_i<a_{i+1},\:\:\forall i<j,\:\:a_j-a_i\text{ divise } a_i+a_j \Big\}$

$\forall a\in \mathcal  S_n , \:\:m_a :=\underset{1\leqslant i<j\leqslant n}{\text{PPCM}}(a_j-a_i),\quad f(a) :=(0,a_1+m_a, a_2+m_a,\dots a_n +m_a)\:\:\:$ Il est alors facile de se convaincre que:

$$\forall n\in\N_{\geqslant2},\:\:\forall a \in \N^n: \:\:\:\: a\in \mathcal S_n \implies f(a) \in \mathcal S_{n+1}.$$

$\mathcal S_2 $ étant non vide, on en déduit que: $\boxed{\forall n \in \N_{\geqslant 2}, \:\: \mathcal S_n \neq \emptyset.}$

Pour tout entier $n$, il existe une suite de longueur $n$ possédant les propriétés requises.

bisam

Il y a bien plus simple si on autorise le $0$. La suite nulle est une suite infinie qui vérifie la propriété.

Par ailleurs, si $m_1,...,m_k$ convient alors $0,m_1,...,m_k$ convient aussi et est strictement plus longue.

Si on n'autorise pas la valeur $0$, cela devient plus intéressant.

Je croyais avoir répondu jeudi soir, mais visiblement mon message n'est pas parti.

D'ailleurs, je pense que @TexasMain est anglophone (cela expliquerait son pseudo, mais également sa façon de répondre "N'importe qui ?", qui sonne beaucoup mieux en anglais...) et dans cette langue, les entiers positifs n'incluent pas la valeur $0$.

lourrran

Effectivement, je pense que TexasMain est allophone ;  il a posé un exercice dans une langue qui pouvait être du turc, ou du maltais. L'exercice a ensuite été traduit en français. 

Ben314159

Personnellement, j'aurais tendance à considérer que dans l'énoncé il est sous entendu que les $m_i$ doivent être des entiers naturels distincts donc à mon sens, la suite 0,0,0,... n'est pas une solution au problème, mais c'est évidement tout à fait discutable (les goûts et les couleurs . . .)
Par contre, le fait qu'on autorise ou pas la valeur 0 ne change évidement rien vu que, si on peut construire des suites aussi longues qu'on veut commençant par 0 alors il est clair qu'on peut en construire des aussi longue qu'on veut sans le 0  !

A mon sens, si on veut modifier l'énoncé, on pourrait demander quelle est la valeur maximale de $k$ lorsque l'on impose à tout les $m_i$ d'être inférieurs à une borne fixée, par exemple 2023. 
Si on interdit 0, une solution avec $k\!=\!7$ est ( 180 , 200 , 210 , 216 , 220 , 225 , 240 ) mais peut-on faire mieux ?

TexasMain

Réponse : Une infinité

Math Coss

@Ben314159 a donné une construction de suites arbitrairement longues qui contiennent un zéro ; en supprimant ce zéro on trouve donc des suites arbitrairement longues sans zéro...

Je ne comprends pas la réponse de @TexasMain (décidément je ne comprends pas grand-chose dans ce problème ; enfin, toujours plus qu' @AlainLyon...) : est-ce que cela veut dire qu'on peut faire des suites finies de longueur quelconque ou qu'on peut faire une suite infinie ?

TexasMain

Il n'y a pas de limite supérieure à la valeur que k peut prendre.