Ambiguïté d'un énoncé

visiteur

Bonsoir
J'avais un énoncé sur le chapitre des polynômes de prépa BCPST, il est indiqué d'étudier une application linéaire sur l'ev des polynômes et fait apparaître le terme $P(X+1)$.
Je trouve que c'est ambigu car on peut lire une multiplication de polynômes comme on peut lire une composition de polynômes.

JLapin

Oui, c'est ambigu mais c'est très usuel, y compris dans le monde anglo-saxon.

https://approach0.xyz/search/?q=OR content:$P\left(X+1\right)$&p=1

Personne ne note $P\circ (X+1)$.

https://approach0.xyz/search/?q=OR content:$P\circ\left(X+1\right)$&p=1

visiteur

donc on note P(X+1) pour la composition et (X+1)P pour la multiplication ?

JLapin

Oui, c'est ça. Ou $P(X)(X+1)$ pour la multiplication.

visiteur

Les liens que vous avez donné , cela renvoie à un moteur de recherche dédié aux mathématiques ?

JLapin

C'est marqué en dessous du titre du site.
https://approach0.xyz/search/

Math Coss

Il est vrai que cela peut être déplaisant par moments. Par exemple quand on écrit la division euclidienne : $A=QB+R$ et qu'on applique à $B=X+1$, on hésite entre renverser l'ordre $A=(X+1)Q+A(-1)$, ce qui est déplaisant, et écrire $A=Q(X+1)+A(-1)$, ce qui est pire... La clé est peut-être de glisser un point quand on parle du produit et qu'on peut le confondre avec une composition : $A=Q\cdot(X+1)+A(-1)$ ?

Après, si $P=X+2$, qui va penser que $(X+2)(X+1)=X+3$ ?

JLT

Le problème principal est en effet que le symbole de multiplication est souvent omis. Ceci entraîne des confusions chez certains étudiants qui croient que $\cos(e^x)$ signifie $(\cos(x))\times e^x$.

AlainLyon

@visiteur Pour lever toute ambiguïté, il faut des conventions typographiques, pour les mathématiques en français on note 

$(X+1)P$ pour le produit des polynômes $X+1$ par $P$ à coefficients sur des anneaux commutatifs unitaires.

visiteur

@Math Coss
Dans la division euclidienne le terme est $R(-1)$ ?

visiteur

Une remarque.

Pour revenir sur l'exercice chapitre polynômes et applications linéaires, l'application qui à $P$ associe $(X+1)P$ ou $P.(X+1)$ ou $P(X)(X+1)$ est linéaire l'aplication qui à $P$ associe $P(X+1)$ ou $P\circ (X+1)$ est aussi linéaire

donc on peut envisager les deux situation 

JLapin

Où veux-tu en venir avec ce dernier message ?
Tout a été clarifié depuis ta question initiale, non ?

visiteur

ce n'était pas évident que l'application qui associe $P$ à $P\circ (X+1)$ est linéaire

Math Coss

Le reste de la division d'un polynôme $A$ par $B=X-a$ est bien $A(a)$ (évaluation de $A$ en $a$ pour lever toute ambiguïté...). En effet, $A(X)-A(a)$ admet $a$ pour racine donc il est divisible par $X-a$ : il existe $Q$ tel que $A(X)-A(a)=(X-a)Q(X)$ et la division est effectuée.

Démonstrator

@visiteur Si, un truc de la forme d'une composée est toujours linéaire en le terme de gauche par définition des opérations (remarque fondamentale).