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Ambiguïté d'un énoncé

Modifié (November 2023) dans Algèbre
Bonsoir
J'avais un énoncé sur le chapitre des polynômes de prépa BCPST, il est indiqué d'étudier une application linéaire sur l'ev des polynômes et fait apparaître le terme $P(X+1)$.
Je trouve que c'est ambigu car on peut lire une multiplication de polynômes comme on peut lire une composition de polynômes.

Réponses

  • Modifié (November 2023)
    Oui, c'est ambigu mais c'est très usuel, y compris dans le monde anglo-saxon.
    Personne ne note $P\circ (X+1)$.
  • donc on note P(X+1) pour la composition et (X+1)P pour la multiplication ?
  • Modifié (November 2023)
    Oui, c'est ça. Ou $P(X)(X+1)$ pour la multiplication.
  • Les liens que vous avez donné , cela renvoie à un moteur de recherche dédié aux mathématiques ?
  • Modifié (November 2023)
    C'est marqué en dessous du titre du site.
    https://approach0.xyz/search/
  • Modifié (November 2023)
    Il est vrai que cela peut être déplaisant par moments. Par exemple quand on écrit la division euclidienne : $A=QB+R$ et qu'on applique à $B=X+1$, on hésite entre renverser l'ordre $A=(X+1)Q+A(-1)$, ce qui est déplaisant, et écrire $A=Q(X+1)+A(-1)$, ce qui est pire... La clé est peut-être de glisser un point quand on parle du produit et qu'on peut le confondre avec une composition : $A=Q\cdot(X+1)+A(-1)$ ?
    Après, si $P=X+2$, qui va penser que $(X+2)(X+1)=X+3$ ?
  • Le problème principal est en effet que le symbole de multiplication est souvent omis. Ceci entraîne des confusions chez certains étudiants qui croient que $\cos(e^x)$ signifie $(\cos(x))\times e^x$.
  • @visiteur Pour lever toute ambiguïté, il faut des conventions typographiques, pour les mathématiques en français on note 
    $(X+1)P$ pour le produit des polynômes $X+1$ par $P$ à coefficients sur des anneaux commutatifs unitaires.
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • @Math Coss
    Dans la division euclidienne le terme est $R(-1)$ ?
  • Modifié (November 2023)
    Une remarque.

    Pour revenir sur l'exercice chapitre polynômes et applications linéaires, l'application qui à $P$ associe $(X+1)P$ ou $P.(X+1)$ ou $P(X)(X+1)$ est linéaire l'aplication qui à $P$ associe $P(X+1)$ ou $P\circ (X+1)$ est aussi linéaire

    donc on peut envisager les deux situation 
  • Modifié (November 2023)
    Où veux-tu en venir avec ce dernier message ?
    Tout a été clarifié depuis ta question initiale, non ?
  • ce n'était pas évident que l'application qui associe $P$ à $P\circ (X+1)$ est linéaire
  • Le reste de la division d'un polynôme $A$ par $B=X-a$ est bien $A(a)$ (évaluation de $A$ en $a$ pour lever toute ambiguïté...). En effet, $A(X)-A(a)$ admet $a$ pour racine donc il est divisible par $X-a$ : il existe $Q$ tel que $A(X)-A(a)=(X-a)Q(X)$ et la division est effectuée.
  • Modifié (November 2023)
    @visiteur Si, un truc de la forme d'une composée est toujours linéaire en le terme de gauche par définition des opérations (remarque fondamentale).
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