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Réduction de Jordan

Modifié (November 2023) dans Algèbre
Bonjour amis des math
Je cherche une démonstration plus simple que celle exposée dans l'excellent livre de Gourdon, sur la réduction de Jordan d'un endomorphisme nilpotent.
Voici ma démo. Je souhaiterais avoir vos retours (et me dire si une faille de raisonnement s'est glissée dans la démo). 
Soit $u$ un endomorphisme nilpotent de rang $r$ dans un $K$-espace vectoriel de dimension $n $.
Je veux démontrer qu'il existe une base $B$ dans laquelle $Mat(u,B)$ a la forme d'une matrice par bloc de type Jordan.
$ \begin{bmatrix} 0 & \cdots &   & 0 \\
1 &  0&  &  \\
& 1 & 0 &  \\
0& \cdots & 1 & 0 \\
 \end{bmatrix} $
Mon idée est de construire les sous-espaces vectoriels $E_{k}$ tels que :
$E_{1}\bigoplus  E_{2} \bigoplus \dots\bigoplus E_{p}=E,$  où $E_{k}$ est de la forme
$Vect (x_{k},u^{1}( x_{k}), \dots, u^{m_{k}}( x_{k}) )$, avec $m_{k}<r$
Je prends un $x_{1}$ de $E$ et je considère les vecteurs $x_{1},u(x_{1}), \dots,u^{k}( x_{1})$ (je procède ainsi tant que $u^{k}( x_{1})$ non nul)
Ils sont libres car si  $a_{0}x_{1} + a_{1}u^{1}( x_{1}) + \dots+ a_{k}u^{k}( x_{1}) = 0$, en appliquant les puissances successives de $u$ on montre que tous les coefficients sont nuls.
Soit $E_{1} = Vect (x_{1},u^{1}( x_{1}), \dots, u^{m_{1}}( x_{1}) )$.
On va choisir un $x_{2}$ non inclu dans $E_{1}$ et construire $E_{2}$ par application successive de $u$ à $x_{2}$ tant que les vecteurs successifs n'appartiennent pas  à $E_{1}$.
Je répète ainsi l'opération pour construire $E_{3}$ qui est en somme directe avec  $E_{1}$ et $E_{2}$  ($x_{3}$  ne sera pas choisi dans la somme directe $E_{1}\bigoplus  E_{2} $ ).
Et je continue jusqu'à ce que la somme directe des  $E_{k}$  donne $E$ (la somme des dimensions vaut $n$).
Dans les bases de $E_{k}$ la matrice représentative de $u$ est de la forme .
$ \begin{bmatrix} 0 & \cdots &   & 0 \\
1 &  0&  &  \\
& 1 & 0 &  \\
0& \cdots & 1 & 0 \\
 \end{bmatrix} $
Merci pour votre attention.

Réponses

  • Modifié (November 2023)
    Pour $x_2$, tu t'arrêtes mettons au rang $3$ car $f^3(x_2)$ appartient à $E_1$ mais pas $f^2(x_2)$.
    Du coup, ta famille va être $(x_2,f(x_2), f^2(x_2))$ mais la colonne correspondant à l'image de $f^2(x_2)$ va être beaucoup trop chaotique.
    Il n'existe pas vraiment de démonstration de la réduction de Jordan qui ne nécessite un minimum de travail supplémentaire par rapport aux réflexes acquis à l'issue d'un cours d'algèbre linéaire de base puis de diagonalisation/trigonalisation sur les sous-espaces caractéristiques.
  • Modifié (November 2023)
    Merci JLapin, je n'avais pas vu cette faille !! :smile:
  • Modifié (November 2023)
    Je viens de bosser cela. @JLapin je trouve que tu es un peu trop définitif.
    La démo de Gourdon vue aussi chez Monnier est très chouette mais elle est aussi peu éclairante.
    le bon cadre pour moi : les ev quotient et les injections de Frobenius. 
    On construit ensuite une base adaptée à la filtration donnée par les injections dé Frobenius. 
    Cela fait apparaître la taille des blocs de Jordan et donne toutes les infos nécessaires pour bien connaitre la matrice à partir de son polynôme caractéristique.
    Cela évite aussi de se coltiner une suite de supplémentaires ad-hoc construits par récurrence
    C’est l’avantage de quotienter !
    On en tire le théorème de Jordan-Weyr
    Par contre la construction explicite d’une base de Jordanisation  des est une question d’algorithmique qui tourne autour du pivot.
    Une référence sur le sujet : le bouquin de R Mneimné chez C&M mais il n’est pas abordable sans avoir un peu de notions sur le sujet.
    il y a un poly qui traîne sur le net issu d’une lecture à LLG mais il est elliptique et la lecture du livre avec un crayon pour compléter les ellisions volontaires de l’auteur est intéressante.
  • J’ajoute qu’il y a une jolie démonstration matricielle dans un sujet de Mines Pont de 2014.

    Jolie mais pas éclairante : comme dans le Gourdon on obtient le résultat mais le mécanisme sous-jacent n’est pas mis en valeur.
  • Modifié (November 2023)
    je trouve que tu es un peu trop définitif.

    La suite de ton message (très intéressant) montre clairement qu'un minimum de travail supplémentaire est nécessaire pour quelqu'un qui maitrise seulement la diagonalisation/trigonalisation :)

  • Oui sur cela on est d’accord  :)

    Mais je voulais souligner que le cadre choisi par Saint Gourdon (que je ne critiquerai jamais) n’est pas le bon.

    la jordanisation peut s’expliquer clairement dans le bon cadre. C’est ce que fait Mneimné en quelques lignes (un peu rudes à détailler quand on a pas son brio, ce qui ne me vexe pas j’ai passé l’âge de vouloir briller).
  • Je ne connais pas la présentation "du Gourdon".
    Pour ma part, j'aime bien l'idée de construire un sous-espace cyclique de dimension maximale, un supplémentaire stable, et on recommence.
  • MrJMrJ
    Modifié (November 2023)
    @hx1_210 : Je ne suis plus entièrement sûr de la méthode du Gourdon, mais il me semble qu’elle est constructive : on peut l’utiliser pour construire des bases de Jordan de manière effective pour une matrice dont on peut calculer les valeurs propres.

    @JLapin : C’est plutôt une démonstration de la décomposition de Frobenius que tu proposes (qui implique celle de Jordan).
  • Modifié (November 2023)
    Oui c’est l’idée mais il y a une difficulté supplémentaire, il faut bien choisir le vecteur de début de cycle quand on recommence.
    Théoriquement c’est chouette dans la pratique je pense qu’à la main c’est vite inextricable.
    Si le sujet t’intéresse je te conseille vivement le bouquin de Mneimné il est génial.
  • @MrJ oui c’est constructif mais c’est surtout inextricable car les supplémentaires ad-hic dans la suites des iterees sont construit par récurrence sans les exhiber. 

    En effet il n’y a pas unicité du supplémentaire non plus que du supplémentaire ad-hoc.

    La force de la méthode dont je parle c’est de faire apparaitre l’aspect cyclique des blocs de Jordan sans  aller jusqu’à faire de la réduction de Frobenius, tout en se passant de la difficulté du choix du supplémentaire en quotientant.

    De fait dans cette affaire ce sont les sauts de dimensions entre noyaux qui importent.
  • Modifié (November 2023)
    Bonjour
    Je reviens sur la démonstration en question. Mon but est de trouver une démo autre que celle de Gourdon avec mes connaissances de niveau prépa.
    Rappel. $u$ est nilpotent d'indice $r$ dans $E$ ev de dimension $n$.
    Dites moi si je m'égare en annonçant les hypothèses suivantes ?
    Soit $F$ un supplémentaire ...
    $E=\ker \space u^{r-1} \bigoplus F$
    Hypothèse 1 -H1. On montre qu'une base de $F$, $\{e_{k}\}$ ($k$ allant de 1 à $p$) va engendrer une famille libre $u^{j}(e_{k})$ de $rp$ éléments ($0\leq j<r$).
    H2. Ces éléments forment un espace vectoriel $G$ stable par $u$ ie $u(G) \subset G$.
    A ce stade $E=G \bigoplus H$, où $H$ est un supplémentaire de $G$.
    H3. On montre que $H$ est stable par $u$ et l'on reporte la nilpotence dans un espace de moindre dimension avec un indice plus petit.
    Merci pour votre attention.
  • Je réagis juste sur la fin : si tu prends un supplémentaire $H$ quelconque d'un sev donné $G$, il est à peu près certain que $H$ ne sera pas stable par $u$, donc ton $H3$ va être impossible à réaliser sans améliorer significativement ce qui précède.
  • Modifié (November 2023)
    J'avais réussi à démontrer H1 et H2, et je butais sur H3...mince.
    D'après ta réaction, je suppose qu'il faut le construire judicieusement.
    Je sèche. 
  • @jippy13 J'ai un peu oublié la réduction de Jordan à force de ne pas pratiquer.  Mais je pense que ta démarche n'est pas bonne. De mémoire, il n'y a pas 36 configurations différentes. Le mieux, n'est il pas de commencer par présenter des  exemples montrant toutes les  différentes configurations possibles?
    Ensuite en tirer une technique constructive et retrouver une  démonstration. 
    Cela éviterait comme ici  de donner un espace $H$  qui a peu de chance d'être un bon candidat... 
     
  • Modifié (November 2023)
    Il n’y a pas unicité du supplémentaire et la stabilité impose de choisir correctement.
    il faut donc soit le choisir ad-hoc comme Gourdon soit quotienter: la construction d’un ev quotient est de niveau prepa. Franchement si tu cherches un changement de point de vue, c’est plutôt par là qu’il est.
    Je t’ai donné la clef : injections de Frobenius ou construction matricielle par blocs comme dans le sujet de Mines Pont
    J’avais discuté de ce sujet a propos d’une planche de l’X avec l’aussi gentil que brillant @Dps
    J’ai bossé le sujet pendant les vacances, à la clef un poly de 17 pages … il y a un peu de travail.
    Pourquoi ne tiens-tu pas compte de mes réponses ? Je viens de faire le même trajet que celui que tu entreprends.
  • Ma démo tombe a l'eau. J'ai bien compris.
    Je vais essayer de trouver (dans la littérature...ou ailleurs) une autre démo que celle de Gourdon.
    Celle qui fait intervenir les espaces quotient...
    Le sujet des mines l'auriez vous par hasard?
    Merci pour vos remarques.
  • Voici le sujet des Mines 2014
  • Modifié (November 2023)
    Oui c’est celui là 
    Mais ce que cherche notre ami est exposé avec brio dans un bouquin dont j’ai donné la référence.
    Réduction des endomorphismes chez Calvage Mounet. 
    Un livre dense.
    J’ai fait un article là dessus mais le publier ici c’est priver jippy13 du plaisir de la recherche. 
  • Merci John.
    Merci pour vos contributions.
    Je m'en vais prendre du plaisir ...🙂
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