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Montrer que les valeurs propres de AB sont toutes réelles

Bonjour,

Soient A et B deux matrices carrées symétriques. On suppose que le polynôme caractéristique de A a toutes ses racines réelles positives. Montrer que les valeurs propres de AB sont toutes réelles

J'ai un argument que je n'aime pas que je vais donner vers la fin de la discussion.
Le 😄 Farceur


Réponses

  • Modifié (November 2023)
    Bonsoir, fiston,
    $A$ est le carré d'une matrice symétrique $S$ et donc $AB=S\cdot SB$ a même polynôme caractéristique que $SB\cdot S$, qui est symétrique.
  • Modifié (November 2023)
    C"est la preuve que j'ai Cher papa et je n'aime pas car ce n'est pas direct! y a-t-il une preuve directe  Question 11
    Le 😄 Farceur


  • Soit $\lambda$ une valeur propre complexe non nulle de $AB$. Soit $x\in\C^n$ tel que $ABx=\lambda x$, alors $x=Ay$ où $y=\lambda^{-1}Bx$. On remplace $x$ par $Ay$ dans l'égalité précédente et on multiplie à gauche par $y^*$ (conjugué du transposé de $y$), ce qui donne $y^*ABAy=\lambda y^*Ay$.
    Le membre de gauche est un réel ainsi que $y^*Ay$. De plus, comme $A$ est une matrice hermitienne positive, $y^*Ay=0\implies Ay=0\implies x=0$ ce qui est absurde. Par conséquent $\lambda\in\R$.
  • dSPdSP
    Modifié (November 2023)
    Je pense que, dans l'esprit de l'énoncé, la seule preuve raisonnable attendue est la suivante.
    Soit $\lambda$ une valeur propre complexe non nulle de $AB$. Soit $X$ un vecteur propre complexe de $AB$ associé à $\lambda$. Comme $\lambda \neq 0$ on peut écrire $X=AY$ pour un vecteur $Y$, nécessairement non nul. Alors $Y^\star ABAY=\lambda Y^\star Y$, et clairement $ Y^\star ABAY$ est réel (il est égal à son transconjugué). Puisque $Y^\star Y \in \R^*$, on obtient $\lambda \in \R$ en divisant.
    Zut, JLT a rédigé la réponse en même temps que moi...
  • Joli
    Le 😄 Farceur


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