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Décomposition en élément simples

Modifié (November 2023) dans Algèbre
Bonjour à tous.
L'humiliation : un exercice de MPSI que n'arrive pas à traiter.
Soit $n\in\mathbb N$. Il est bien connu que'il existe un unique polynôme $P_n\in\mathbb C[X]$ de degré $n$ tel que $\displaystyle X^n+\frac1{X^n}=P_n\left(X+\frac1X\right)$.
La question : décomposer en éléments simples la fraction rationnelle $\displaystyle\frac1{P_n}$.
À la main, j'ai réussi jusque $n=4$, mais je ne vois pas trop le schéma général.
Si quelqu'un sait comment faire.

Réponses

  • Quelles sont les racines de $P_n$ ? Sont-elles simples ?
    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • En évaluant en $X=e^{ix}$, on obtient $P_n(2\cos(x)) = 2\cos(nx)$. On n'est pas loin d'avoir les polynômes de Tchebychev.
  • Modifié (November 2023)
    Salut
    une idée ... qui vaut que ce qu'elle vaut !!!
    en posant $ y = x + \dfrac 1 x$ alors 
    $ P(y) = \left( y + \dfrac 1 y \right)^n + \dfrac 1 { \left( y + \dfrac 1 y \right)^n} = \dfrac 1 {y^n} (y^2 + 1)^n + \dfrac {y^n} {(1 + y^2)^n}  $
    pour le premier terme on utilises le binome de Newton et on divise par y^n (assez aisé il me semble)
    pour le deuxième on utilise l'égalité $ y^2 + 1 = (y - i)(y + i) $ et ... on décompose en éléments simples !!! sachant que la fraction est réelle ça dit des choses
    $ \dfrac {y^n} {(y - i)^n(y + i)^n}= \dfrac {(y - i + i)^n}{(y - i)^n(y + i)^n} = \dfrac 1 {(n + i)^n} \sum_0^n {n \choose k} \dfrac 1 {(y - i)^{n - k}} i^{n - k}$
    reste à décomposer $ \dfrac 1 {(n + i)^n (n - i)^{n - k}} $ pour k variant de 0 à n et à multiplier par le coefficient adéquat
    puis à regrouper ... mais ça me semble bien compliqué (calculatoire)
    peut-être en passant par les dérivées on peut faire mieux.

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • Modifié (November 2023)
    Bonjour 
    Il faut partir de la décomposition en éléments simple facile à calculer de :
    $$\dfrac{1}{x^n+x^{-n}}=\dfrac{x^n}{x^{2n}+1} =\dfrac{1}{2 n} \sum_{k=0}^{2n-1} \dfrac{ z_k^{1-n}}{x-z_k} ,$$ où  $z_k,k=0,\dots,2n-1$ sont les racines de $x^{2n}+1=0.$
    Ensuite tu regroupes les termes  $2$ par $2$   (ceux où $z_k$ et $z_j$  sont inverses).   Tu auras alors   la décomposition en éléments simples de 
    $1/p_n(x)$  puisque la dernière expression obtenue  sera  celle recherchée (sauf que $x$ est remplacé par $x+1/x$)
     
  • ouais !! pourquoi fais-je compliqué quand on peut faire simple ?  :'(

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • Modifié (November 2023)
    Ce sont les polynômes de Tchebychev I normalisés. Comme dit Guego, on n'est vraiment pas loin. Les racines sont simples et bien connues. La technique de décomposition en éléments simples avec racines simples est...simple.
  • Il faut identifier les zéros de $P_n$ et s'assurer qu'ils sont tous simples. Comme c'est le cas, on a
    $$\frac{1}{P_n(X)} = \sum_{z\in P_n^{-1}(0)} \frac{1}{P'_n(z)} \frac{1}{X-z}
    $$
    ce qui revient à calculer $P_n'(z)$ pour chaque zéro $z$ de $P_n$. Avec la relation donnée par Guego, ça va vite.
    Après je bloque.
  • Merci à tous pour vos réponses.
  • Est ce que quelqu'un est allé jusqu'au bout des calculs pour  trouver cette fameuse décomposition.
     Je laisse en lien un document sur les polynômes de Tchebychev
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (November 2023)
    @Gebrane J'ai donné une méthode de calcul en utilisant des moyens élémentaires. Il suffit de continuer mes calculs en pensant à simplifier.
    Pour info je trouve $$\dfrac{1}{p_n(x)} = \dfrac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{ (-1) ^k \sin(\theta_k)}{x-2 \cos(\theta_k)},$$ où $\theta_k= \frac{\pi  k}{n}+\frac{\pi }{2 n}, k=0,...,n-1.$
     
  • Merci pour le partage bd2017. J'étais perdu dans mes calculs. Étais-je le seul ? :blush:
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (November 2023)
    J'avoue qu'il y a un peu de calcul que j'ai la flemme de reporter ici.  Essentiellement, "il y a les $z_k$"   solutions   de $z^{2n}+1=0$ qu'il faut regrouper $2$ par $2$    et penser à simplifier les puissances $n$-ième (i.e  $z_k^n$)  qui interviennent. Rien de bien méchant mais...
     
  • Modifié (November 2023)
    J'étais perdu dans mes calculs. Étais-je le seul ? blush

    Je n'ai pas ton courage : je n'ai pas démarré les calculs.
    Mais si ma vie est en jeu ou une forte somme d'argent, je pense y arriver :)

  • Jlapin Si tu es un ancien membre tu sais la cause . J'ai un problème de vision qui ne m'aide pas 
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (November 2023)
    Un défi pour Jlapin.
    Donné la décomposition en éléments simples la fraction $$F(X)=\frac{X^n } {(1+X^2)^n}.$$ Gain 0 Euro :smiley:
    Un défi plus accessible $$\forall n\geq 1, \quad \frac 1{(1-X^2)^n}=\sum_{k=1}^n \frac {\binom{2n-1-k}{n-1}}{2^{2n-k}} (\frac 1{(1+X)^k}+\frac 1{(1-X)^k}.$$
    Le 😄 Farceur


  • @gebrane Avec ma méthode évoquée plus haut : 
    (0) D'abord, vérifier que $P_n$ est unitaire de degré $n$, donc qu'il a $n$ racines (omis).
    (1) Trouver les racines de $P_n$ : Pour $z\in \C$ fixé, soit $w\in \C$ tel que $z=w+1/w$ (il y a deux tels nombres, et clairement si $w$ est l'un des deux, l'autre c'est $1/w$). Alors $P_n(z) = 0$ est équivalent $w^n+w^{-n}=0$, c'est-à-dire $w^{2n}=-1$ ; en particulier $w$ est de module $1$, et donc $1/w=\bar{w}$, ce qui implique que $z=w+\bar{w} = 2\Re(w)$ est réel dans $[-2,2]$. On choisit un ensemble $W_n$ à $n$ éléments de racines de $X^{2n}+1$, tel que si $w\in W_n$ alors $\bar{w}\notin W_n$. Par exemple $W_n=\{e^{i\theta} | \theta\in \Theta_n\}$, où $\Theta_n=\{\frac{\pi}{2n} + k\frac{\pi}{n} | k=0,\dots, n-1\}$. On obtient ainsi $n$ racines distinctes de $P_n$, les $z=2\cos\theta$ ($\theta\in\Theta_n$), et comme $P_n$ est de degré $n$, ce sont toutes les racines de $P$. Donc$$P_n(X) = \prod_{\theta\in \Theta_n} (X-2\cos \theta)$$
    (2) Calculer $P'_n(z)$ lorsque $z$ est un zéro de $P$ : Avec la formule de Guego, $P_n(2\cos \varphi)=2\cos (n\varphi)$, on a en dérivant par rapport à $\varphi$, $P'_n(2\cos \varphi) = n \frac{\sin( n\varphi)}{\sin \varphi}$. Avec la formule pour $1/P$ que j'avais donnée plus haut, on obtient: $$\frac{1}{P_n(X)} = \frac{1}{n}\sum_{\theta\in\Theta_n} \frac{\sin \theta}{\sin n\theta} \frac{1}{X-2 \cos \theta}$$Cette formule diffère de celle de bd2017, mais en apparence seulement, car pour $\theta\in\Theta_n$ on a nécessairement $\sin n\theta = \pm 1$ (pour le voir il faut revenir au $w$ correspondant : $w^{2n}=-1$ implique que $\frac{w^n-w^{-n}}{2i}\in\{-1,+1\}$).
    Après je bloque.
  • Merci i.zitoussi, pour l'histoire de $\sin(n\theta)=\pm 1$, c'est parce que $n\theta=\frac{\pi}{2}+k\pi$ pour un certain $k\in \Z$
    Le 😄 Farceur


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