Décomposition en élément simples

Joaopa
Modifié (November 2023) dans Algèbre
Bonjour à tous.
L'humiliation : un exercice de MPSI que n'arrive pas à traiter.
Soit $n\in\mathbb N$. Il est bien connu que'il existe un unique polynôme $P_n\in\mathbb C[X]$ de degré $n$ tel que $\displaystyle X^n+\frac1{X^n}=P_n\left(X+\frac1X\right)$.
La question : décomposer en éléments simples la fraction rationnelle $\displaystyle\frac1{P_n}$.
À la main, j'ai réussi jusque $n=4$, mais je ne vois pas trop le schéma général.
Si quelqu'un sait comment faire.

Réponses

  • Quelles sont les racines de $P_n$ ? Sont-elles simples ?
    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • En évaluant en $X=e^{ix}$, on obtient $P_n(2\cos(x)) = 2\cos(nx)$. On n'est pas loin d'avoir les polynômes de Tchebychev.
  • zygomathique
    Modifié (November 2023)
    Salut
    une idée ... qui vaut que ce qu'elle vaut !!!
    en posant $ y = x + \dfrac 1 x$ alors 
    $ P(y) = \left( y + \dfrac 1 y \right)^n + \dfrac 1 { \left( y + \dfrac 1 y \right)^n} = \dfrac 1 {y^n} (y^2 + 1)^n + \dfrac {y^n} {(1 + y^2)^n}  $
    pour le premier terme on utilises le binome de Newton et on divise par y^n (assez aisé il me semble)
    pour le deuxième on utilise l'égalité $ y^2 + 1 = (y - i)(y + i) $ et ... on décompose en éléments simples !!! sachant que la fraction est réelle ça dit des choses
    $ \dfrac {y^n} {(y - i)^n(y + i)^n}= \dfrac {(y - i + i)^n}{(y - i)^n(y + i)^n} = \dfrac 1 {(n + i)^n} \sum_0^n {n \choose k} \dfrac 1 {(y - i)^{n - k}} i^{n - k}$
    reste à décomposer $ \dfrac 1 {(n + i)^n (n - i)^{n - k}} $ pour k variant de 0 à n et à multiplier par le coefficient adéquat
    puis à regrouper ... mais ça me semble bien compliqué (calculatoire)
    peut-être en passant par les dérivées on peut faire mieux.

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • bd2017
    Modifié (November 2023)
    Bonjour 
    Il faut partir de la décomposition en éléments simple facile à calculer de :
    $$\dfrac{1}{x^n+x^{-n}}=\dfrac{x^n}{x^{2n}+1} =\dfrac{1}{2 n} \sum_{k=0}^{2n-1} \dfrac{ z_k^{1-n}}{x-z_k} ,$$ où  $z_k,k=0,\dots,2n-1$ sont les racines de $x^{2n}+1=0.$
    Ensuite tu regroupes les termes  $2$ par $2$   (ceux où $z_k$ et $z_j$  sont inverses).   Tu auras alors   la décomposition en éléments simples de 
    $1/p_n(x)$  puisque la dernière expression obtenue  sera  celle recherchée (sauf que $x$ est remplacé par $x+1/x$)
     
  • ouais !! pourquoi fais-je compliqué quand on peut faire simple ?  :'(

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • Chaurien
    Modifié (November 2023)
    Ce sont les polynômes de Tchebychev I normalisés. Comme dit Guego, on n'est vraiment pas loin. Les racines sont simples et bien connues. La technique de décomposition en éléments simples avec racines simples est...simple.
  • Il faut identifier les zéros de $P_n$ et s'assurer qu'ils sont tous simples. Comme c'est le cas, on a
    $$\frac{1}{P_n(X)} = \sum_{z\in P_n^{-1}(0)} \frac{1}{P'_n(z)} \frac{1}{X-z}
    $$
    ce qui revient à calculer $P_n'(z)$ pour chaque zéro $z$ de $P_n$. Avec la relation donnée par Guego, ça va vite.
    Après je bloque.
  • Merci à tous pour vos réponses.
  • Est ce que quelqu'un est allé jusqu'au bout des calculs pour  trouver cette fameuse décomposition.
     Je laisse en lien un document sur les polynômes de Tchebychev
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • bd2017
    Modifié (November 2023)
    @Gebrane J'ai donné une méthode de calcul en utilisant des moyens élémentaires. Il suffit de continuer mes calculs en pensant à simplifier.
    Pour info je trouve $$\dfrac{1}{p_n(x)} = \dfrac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{ (-1) ^k \sin(\theta_k)}{x-2 \cos(\theta_k)},$$ où $\theta_k= \frac{\pi  k}{n}+\frac{\pi }{2 n}, k=0,...,n-1.$
     
  • Merci pour le partage bd2017. J'étais perdu dans mes calculs. Étais-je le seul ? :blush:
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • bd2017
    Modifié (November 2023)
    J'avoue qu'il y a un peu de calcul que j'ai la flemme de reporter ici.  Essentiellement, "il y a les $z_k$"   solutions   de $z^{2n}+1=0$ qu'il faut regrouper $2$ par $2$    et penser à simplifier les puissances $n$-ième (i.e  $z_k^n$)  qui interviennent. Rien de bien méchant mais...
     
  • JLapin
    Modifié (November 2023)
    J'étais perdu dans mes calculs. Étais-je le seul ? blush

    Je n'ai pas ton courage : je n'ai pas démarré les calculs.
    Mais si ma vie est en jeu ou une forte somme d'argent, je pense y arriver :)

  • Jlapin Si tu es un ancien membre tu sais la cause . J'ai un problème de vision qui ne m'aide pas 
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • gebrane
    Modifié (November 2023)
    Un défi pour Jlapin.
    Donné la décomposition en éléments simples la fraction $$F(X)=\frac{X^n } {(1+X^2)^n}.$$ Gain 0 Euro :smiley:
    Un défi plus accessible $$\forall n\geq 1, \quad \frac 1{(1-X^2)^n}=\sum_{k=1}^n \frac {\binom{2n-1-k}{n-1}}{2^{2n-k}} (\frac 1{(1+X)^k}+\frac 1{(1-X)^k}.$$
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • @gebrane Avec ma méthode évoquée plus haut : 
    (0) D'abord, vérifier que $P_n$ est unitaire de degré $n$, donc qu'il a $n$ racines (omis).
    (1) Trouver les racines de $P_n$ : Pour $z\in \C$ fixé, soit $w\in \C$ tel que $z=w+1/w$ (il y a deux tels nombres, et clairement si $w$ est l'un des deux, l'autre c'est $1/w$). Alors $P_n(z) = 0$ est équivalent $w^n+w^{-n}=0$, c'est-à-dire $w^{2n}=-1$ ; en particulier $w$ est de module $1$, et donc $1/w=\bar{w}$, ce qui implique que $z=w+\bar{w} = 2\Re(w)$ est réel dans $[-2,2]$. On choisit un ensemble $W_n$ à $n$ éléments de racines de $X^{2n}+1$, tel que si $w\in W_n$ alors $\bar{w}\notin W_n$. Par exemple $W_n=\{e^{i\theta} | \theta\in \Theta_n\}$, où $\Theta_n=\{\frac{\pi}{2n} + k\frac{\pi}{n} | k=0,\dots, n-1\}$. On obtient ainsi $n$ racines distinctes de $P_n$, les $z=2\cos\theta$ ($\theta\in\Theta_n$), et comme $P_n$ est de degré $n$, ce sont toutes les racines de $P$. Donc$$P_n(X) = \prod_{\theta\in \Theta_n} (X-2\cos \theta)$$
    (2) Calculer $P'_n(z)$ lorsque $z$ est un zéro de $P$ : Avec la formule de Guego, $P_n(2\cos \varphi)=2\cos (n\varphi)$, on a en dérivant par rapport à $\varphi$, $P'_n(2\cos \varphi) = n \frac{\sin( n\varphi)}{\sin \varphi}$. Avec la formule pour $1/P$ que j'avais donnée plus haut, on obtient: $$\frac{1}{P_n(X)} = \frac{1}{n}\sum_{\theta\in\Theta_n} \frac{\sin \theta}{\sin n\theta} \frac{1}{X-2 \cos \theta}$$Cette formule diffère de celle de bd2017, mais en apparence seulement, car pour $\theta\in\Theta_n$ on a nécessairement $\sin n\theta = \pm 1$ (pour le voir il faut revenir au $w$ correspondant : $w^{2n}=-1$ implique que $\frac{w^n-w^{-n}}{2i}\in\{-1,+1\}$).
    Après je bloque.
  • Merci i.zitoussi, pour l'histoire de $\sin(n\theta)=\pm 1$, c'est parce que $n\theta=\frac{\pi}{2}+k\pi$ pour un certain $k\in \Z$
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


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