Intersection d'un cercle et d'une parabole

Bonjour,
On se donne une parabole à partir de son foyer $F$ et de sa directrice $(d)$, un cercle dont le centre $O$ est sur l'axe de la parabole.
Construire l'intersection du cercle et de la parabole à la règle et au compas.


Réponses

  • pappus
    Modifié (November 2023)
    Bonjour à tous
    Analytiquement les choses sont simples:
    On doit  chercher les solutions du système:
    $$y^2-2px=0\\x^2+y^2-2ax+q=0$$
    On élimine $y$ pour obtenir:
    $$x^2+2(p-a)x+q=0$$
    Les calculs sont terminés!
    Il ne reste plus qu'à faire de la géométrie et là les carottes sont cuites et bien cuites!
    Amicalement
    pappus
  • Ludwig
    Modifié (November 2023)
    Merci pappus. Oui, les calculs ne sont pas très compliqués. Je cherche une solution plus élégante que celles qui consistent à bidouiller une construction à partir des expressions des racines de cette équation du second degré.
  • Bonsoir Ludwig
    Oui si on veut éviter les bidouillages, il faut connaitre les cercles et faisceaux de cercles.
    Voir par exemple le vieux grimoire du Lebossé-Hémery!
    Mais pourquoi se lancer dans une quête inutile?
    Mieux vaut rester sur les sentiers balisés thaléso-pythagoriciens et continuer à enfiler ad nauseam les points alignés et les droites concourantes!
    Amicalement
    pappus
  • pappus
    Modifié (November 2023)
    Bonsoir à tous
    J'ai fait la figure dans le cas particulier $q>0$
    Comme on le sait (savait) $q$ est (était) la puissance (quesaco?) de $S$ par rapport au cercle $\Gamma$ dont on cherche les intersections avec la parabole $\Pi$ de foyer $F$ et de directrice $\Delta$.
    $\gamma$ est le cercle de centre $S$ orthogonal à $\Gamma$.
    $O$ est le centre de $\Gamma$.
    $m=O+\overrightarrow{FH}$.
    $\lambda$ est le cercle de centre $m$ orthogonal à $\gamma$.
    $r$ et $s$ sont les intersections de $\lambda$ avec l'axe de la parabole $\Pi$.
    Il ne reste plus qu'à tracer les intersections de la parabole avec les droites passant par $r$ et $s$ et parallèles à $\Delta$.
    On se doute un peu qu'arrivé à ce point, c'est la débandade la plus complète!
    Amicalement
    pappus


  • Extra ! En bidouillant à partir de ta figure j'ai trouvé une construction dans le cas $q<0$, celui qui m'intéressait. Elle est plus simple : la parallèle à $\Delta$ passant par $S$ coupe le cercle $\Gamma$ en $T$ et $T'$. Le cercle de centre $m$ passant par ces deux points coupe l'axe de la parabole en $r$ et $s$. La parallèle à $\Delta$ passant par $s$ coupe $\Gamma$ en $R$ et $R'$, qui sont aussi sur la parabole :
    Mais je n'ai rien justifié du tout.
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