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$P$ ne peut pas avoir toutes ses racines réelles

Modifié (November 2023) dans Algèbre
Bonjour
J'ai besoin d'aide pour répondre à cette question qui m'a été posée. 

Soit $P(x) = \sum_{k=0}^n a_kx^k$, ($n>1$), avec $a_n = a_{n-1} = a_{n-2} = 1$ et les autres dans $\mathbb{R}$.
Démontrez que $P$ ne peut pas avoir toutes ses racines réelles.
Le 😄 Farceur


Réponses

  • MrJMrJ
    Modifié (November 2023)
    Je n’ai pas papier sous la main pour faire le calcul, mais j’essayerais de dériver $P$ jusqu’à obtenir un polynôme de degré 2. Avec un peu de chance, cette dérivé ne sera pas scindé sur $\R$.
  • Modifié (November 2023)
    Bonjour
    La dérivée $P^{n-2} (x)$ est facile à calculer et n'admet pas de racine réelle. Avec l'aide du théorème de Rolle
    on  obtient successivement que  $P^{n-3}$  a au plus une racine réelle, $P^{n-4}$ au plus  2 racines réelles...
    d'où le résultat.
     
  • Modifié (November 2023)
    Merci, je me suis compliqué la vie en voulant utiliser les relations entre coefficients et racines: somme des racines est -1 et somme des produits deux à deux des racines est 1.
    edit ça marche aussi car on aura ( somme des racines)²- 2(sommes des produits deux à deux des racines) <0 ce qui est absurde car toutes  les racines sont supposées  réelles.
    Le 😄 Farceur


  • Bonjour ,
    On peut aussi commencer par multiplier $P$ par $x-1$ puis montrer que le polynôme obtenu n'a pas toutes ses racines réelles en utilisant la règle des signes de Descartes. Dans le même esprit, voir https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2335979/polynomiale
  • Merci @GaBuZoMeu pour l'indication et pour l'autre question dans l'autre fil plus intéressante.
    Parfois il est difficile de comprendre les idées des autres !
    Un exemple : as-tu compris ce raisonnement ''ça marche aussi car on aura ( somme des racines)²- 2(sommes des produits deux à deux des racines) <0 ce qui est absurde car toutes  les racines sont supposées  réelles ''? :smile:
    Je ne connais pas très bien la  règle de Descartes,  je me documente pour traiter mon exo et l 'autre  exo
    Le 😄 Farceur


  • "as-tu compris ce raisonnement"
    Oui, je ne suis pas encore complètement légume. ;)
  • Puisque c'est un oui  , je suis dans l'obligation de comprendre le votre avec Descartes  
    Le 😄 Farceur


  • @gebrane pour la culture tu connais le théorème de Sturm? Pas utile ici mais je le trouve assez beau.
  • Modifié (November 2023)
    Bonjour @Boécien Avant non, maintenant oui. Merci
    Peux-tu me répondre par oui ou non, comprends-tu l'indication de Gabu avec Descartes ? (C'est mon premier contact avec Descartes) 
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (November 2023)
    J'ai la tête qui tourne. Si $ P(x) = a_0 + a_1x + \dots + a_{n-3}x^{n-3} + x^{n-2} + x^{n-1} + x^n $, alors $ Q(x) = (x-1)P(x) = x^{n+1} + (a_{n-3}-1)x^{n-2} + (a_{n-4}-a_{n-3})x^{n-3} + \dots + (a_0 -a_1)x - a_0 $.
    Suis-je dans la mauvaise voie ?
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (November 2023)
    @gebrane Oui je comprends l'indication du chef Shadock. Dans le lien qu'il donne il y a un autre lien vers la page wiki de la règle des signes de Descartes. En général pour comprendre le cas général il suffit de comprendre un cas particulier ! Regarde par exemple $P(x)=x^4+x^3+x^2+ax+b$.
  • Modifié (November 2023)
    Des coefficients sont nuls...donc combien de changements de signes peux tu avoir entre deux coefficients consécutifs non nuls?
  • Merci l'ami @boécien
    Confirmes-tu ma preuve ici  d'une question plus intéressante   ( Je laisse beaucoup de coquilles)
    Le 😄 Farceur


  • La règle des signes de Descartes montre que si on a un trou d'au moins deux coefficients nuls dans la suite des coefficients d'un polynôme $Q=a_nx^n+\cdots+a_0$ à coefficients réels (il existe $i,j,k$ tels que $j<i$,  $i+1<k$,  $a_ja_k\neq 0$ et $a_i=a_{i+1}=0$), alors $Q$ ne peut pas avoir toutes ses racines réelles.
    On en déduit qu'un polynôme à coefficients réels qui a trois coefficients de puissances successives de la variable égaux et non nuls ne peut pas avoir toutes ses racines réelles (multiplier ce polynôme par $x-1$).
  • Modifié (November 2023)
    Bonjour  @GaBuZoMeu
    Dans $ Q = a_nx^n + \ldots + a_0 $
    à coefficients réels (il existe $i, j, k$ tels que $j < i$, $i+1 < k$, $a_j a_k \neq 0$ et $a_i = a_{i+1} = 0$),  je devrais lire $a_j a_k \neq 0$ ou bien $a_j, a_k \neq 0$.
    Le 😄 Farceur


  • Tu lis ce que tu veux. Est-ce que ça ne revient pas au même ?
  • Modifié (November 2023)
    Je sais que c'est la même chose, mais j'ai insisté parce que tu as mentionné précédemment un trou d'au moins deux coefficients nuls. Cependant, ici, tu décides que le trou de deux zéros est entouré de coefficients non nuls.
    Le 😄 Farceur


  • Ben oui, pour moi un trou est du vide avec du plein autour. Pas pour toi ?
    En plus je ne vois pas le rapport avec savoir s'il faut lire $a_ja_k\neq 0$ ou $a_j,a_k\neq 0$.
  • Modifié (November 2023)
    Edit  J'avais la tête dans le sable   
    Le 😄 Farceur


  • Tu vois justement, si tu as la tête dans un trou dans le sable, tu as du sable tout autour.
  • Et si le sable n'est pas tout autour, voici un contre-exemple x^3+0x²+0x+0
    Le 😄 Farceur


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