Score de basket-ball

TexasMain

$16$ équipes participent à la compétition de basket-ball et chaque paire d'équipes joue deux matchs l'une contre l'autre. Dans chaque match, $2$ points sont attribués à l'équipe gagnante et $1$ point à l'équipe perdante (Comme on le sait, il n'y a pas de match nul dans les matchs de basket). À la fin du tournoi, combien de points une équipe doit-elle récolter pour garantir plus de points qu'au moins $8$ équipes ?

Soc

On est en train de t'aider à te qualifier à un concours?

TexasMain

Non. Une des bonnes vieilles questions dépassées des magazines...

i.zitoussi

Si c'est une vieille question, sa vieille réponse n'est peut-être plus valide. Car aujourd'hui, il y a Wembanyama.

Soc

Je reste sceptique... Garde tout de même à l'esprit que les 8 plus mauvais doivent aussi jouer contre les 8 plus mauvais, ce qui leur assure un score minimum.

TexasMain

La question est une vieille question.. La réponse est claire.. Je suis curieux de connaître vos solutions. C'est agréable de voir différentes idées, différentes solutions et de partager de bonnes questions.

TexasMain

J'aime ton idée, continue

Soc

Va pour 52 points.

TexasMain

La réponse n'est pas 52 mais très proche

lourrran

Pour garantir strictement plus de points qu'au moins 8 équipes, il faut (et il suffit) marquer 46 points.

TexasMain

Bonne idée mais malheureusement la réponse n'est pas 46

MrJ

J’arrive à 53 points (en maximisant la nombre de points des 9 premières équipes et en ajoutant 1 point).

TexasMain

Merci. Alors, pouvez-vous démontrer qu’il suffirait qu’une équipe récolte 53 points pour gagner plus de points qu’au moins 8 équipes ?

lourrran

ok, compris mon erreur.
Si les 9 meilleures équipes se neutralisent et écrasent les 7 autres, elles marquent chacune $8 \times 3  + 7\times 4=52$ points 

TexasMain

evet bu kesinlikle doğru yaklaşım

Soc

Avec 52 points, on ne peut pas être 9ème... ou plutôt si on est 9ème, alors on est aussi premier ex-aequo.

TexasMain

Réponse : 53

Montrons d’abord qu’il suffit qu’une équipe récolte 53 points pour gagner plus de points qu’au moins 8 équipes.

Une équipe doit gagner au moins 23 matchs pour récolter au moins 53 points. Si gagner 23 matchs ne suffit pas, il doit y avoir 9 équipes qui ont gagné au moins 23 matchs chacune. Ces 9 équipes gagneront au moins 9 ∙ 23 = 207 matchs au total. Au total, 16 ∙ 15 = 240 matchs sont disputés dans la compétition. Cela signifie que les 7 équipes restantes ont remporté un maximum de 240 – 207 = 33 matchs au total. Mais c’est une contradiction puisque ces 7 équipes ont joué entre elles 7 ∙ 6 = 42 matchs. Chacune des 8 équipes peut gagner 23 matchs. Pour cela, chacune de ces 8 équipes gagnantes doit battre les autres équipes gagnantes dans un seul match, et les 8 équipes restantes doivent battre les deux matchs.

Montrons maintenant que dans certains cas, une équipe gagnant seulement 22 matchs ne suffit pas. Divisons les équipes en deux groupes de 9 et 7 équipes. Si chaque équipe du premier groupe bat les autres équipes du même groupe lors d'un seul match, et que les équipes du deuxième groupe battent les deux matches, chacune des 9 équipes du premier groupe aura gagné exactement 22 matchs.

Soc

Et donc on sera premier ex-æquo

Soc

Il y a 240 matchs au total (16*15) et 30 matchs par équipe. Je préfère ne compter qu'un point pour une victoire, et rajouter 30 points à chaque équipe à la fin, cela clarifie le problème.

Les 7 dernières équipes marquent au total au moins 42 points quand elles jouent entre elles (7*6 matchs). Il reste au plus 198 points à repartir pour les 9 premières (240-48). En partage égal cela fait 22 victoires chacune.

Donc si l'on marque 52 points (22+30), soit on bat au moins une des 8 autres et l'on est dans les 8 premiers, soit elles ont toutes marqué 52 points et on est 1er ex-æquo.

TexasMain

belle approche