Dualité $L^p$
J'ai vu que $\ell^1( \mathbb{C} )$ s'identifiait au sous-espace strict de $(\ell^{ \infty})^{\prime}$ donné par $c_0'$ où $c_0$ est le sous-espace de $\ell^{\infty}$ des suites qui tendent vers zéro.
Puisque parallèlement pour un espace mesuré $X$, $L^1(X)$ s'identifie à un sous-espace strict de $(L^{\infty})^{\prime}$, quelqu'un sait-il exprimer celui-ci semblablement au cas des suites ?
Puisque parallèlement pour un espace mesuré $X$, $L^1(X)$ s'identifie à un sous-espace strict de $(L^{\infty})^{\prime}$, quelqu'un sait-il exprimer celui-ci semblablement au cas des suites ?
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Réponses
Déjà, l'espace $L^1$ n'est en général pas le dual d'un espace normé. C'est par exemple le cas de $L^1[0,1]$. Pour le justifier, l'argument classique consiste à montrer que la boule unité de $L^1[0,1]$ n'admet pas de points extrémaux (le théorème de Krein-Milman assure que dans le dual d'un espace normé, la boule unité admet au moins un point extrémal).
Par contre, on peut donner une description 'simple' de $L^1(\mu)$ en tant que sous-espace de $(L^\infty(\mu))'$ (pourvu que $\mu$ est 'gentil", par exemple $\sigma$-finie suffit). On montre tout d'abord que $L^\infty(\mu)'$ s'identifie à l'espace des mesures complexes finiment additives et absolument continues par rapport à $\mu$. Dès lors $L^1(\mu)$ s'identifie au sous-ensemble des mesures complexes $\sigma$-additives et absolument continues par rapport à $\mu$.
Soit en effet $W$ ce supplémentaire topologique et posons $F:=W^{\bot}$ (voir notations de Manda ci-dessus), alors l'application de restriction $E'\to F', \xi\mapsto \xi_{\mid_F}$ a pour noyau $W$ et induit donc un isomorphisme linéaire $V\simeq F'$.