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Numéros de couleur

Modifié (November 2023) dans Algèbre
Les nombres $1, 2, 3, ... , 2023$ sont chacun peints dans l'une des couleurs $K$. Pour chaque paire d'entiers positifs $m, n$ qui satisfait aux conditions $1$ ≤ $m$ < $n$ ≤ $2023$, il existe un entier dans la plage $[m,n]$ qui a une couleur différente de tous les autres entiers compris dans la plage $[m,n]$. Par conséquent, quelle est la plus petite valeur que peut prendre le nombre $K$ ?
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Réponses

  • Avec 1011 ça marche, c'est un début. Sinon en français c'est mieux.
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • SocSoc
    Modifié (November 2023)
    En regardant plus en détail, je dirais 11.
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • J'ai mis à jour la question. Vous pouvez mettre à jour votre réponse
  • Modifié (November 2023)
    Si je prends $m=1$,$n=2023$, il y a (au moins) un élément entre $m$ et $n$ qui a une couleur différente de tous les autres. Notons $r_1$ le rang de cet élément.
    Si je prends $m=1$ et $n = r_1-1$ , il y a dans cet intervalle au moins un élément qui a une couleur différente de tous les autres, notons $r_{2,1}$ le rang de cet élément
    Et idem avec $m=r_1+1$ et $n=2023$, il y a dans cet intervalle au moins un élément qui a une couleur différente de tous les autres, notons $r_{2,2}$ le rang de cet élément.
    Ces 2 éléments $r_{2,1}$ et $r_{2,2}$peuvent avoir la même couleur.
    Ces 3 premiers  éléments définissent 4 intervalles. Et dans chacun de ces 4 intervalles, il y a un élément qui a une couleur différente de tous les autres.
    Et ainsi de suite.
    On se retrouve à chercher $n$, tel que $1+2+2^2+2^3+ \text{...}+ 2^n$ soit supérieur ou égal à $2023$.
    Il faut donc $n \le 10$ et donc il faut au moins $11$ couleurs.
    Et encore, ça marche si $r_1$ est proche de $1024$, $r_{2,1}$ proche de $512$ , etc etc.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Modifié (November 2023)
    J'ai mis à jour la question. Vous pouvez mettre à jour votre réponse

    Sa réponse était déjà en français.

    Par contre, "l'une des couleurs $K$" dans ton énoncé ne veut pas dire grand chose.

    "L'une des couleurs de l'arc-en-ciel" a du sens ou encore, l'une des quatre couleurs de son stylo 4-couleurs a du sens par exemple.

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