Entrelacement de racines — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Entrelacement de racines

Modifié (November 2023) dans Algèbre
J'essaie de montrer quelque chose qui est peut-être faux, ou peut-être aussi vrai et très connu, mais je ne trouve pas de référence.
Soient $P, Q \in \R[X]$. Je suppose d'emblée que (0) $P$ et $Q$ sont unitaires,  (1) $|\deg P-\deg Q| \leq 1$, (2) toutes les racines de $P$ sont réelles et simples ; puis je considère les deux assertions suivantes : 
(a) Les racines de $Q$ sont toutes réelles et simples, et entrelacées avec celles de $P$.
(b) Le wronskien $PQ'-P'Q$ n'a pas de racines réelles.
Je voudrais montrer que (a) et (b) sont équivalentes. Le sens (a) implique (b) ne me pose pas de problème. Pour (b) implique (a), les cas où $\deg Q\leq \deg P$ non plus. C'est lorsque $\deg Q = 1+\deg P$ que c'est dur.
Si on fixe $n=\deg P$, et $a_1<\dots<a_n$ les racines de $P$, alors (b) implique que $Q$ a exactement une racine réelle dans chaque intervalle $]a_i, a_{i+1}[$, ce qui fait $n-1$ racines  à peu près localisées. Comme $Q$ est supposé de degré $n+1$, il reste un facteur de degré 2. Il faut montrer que les deux racines manquantes sont réelles (alors nécessairement l'une dans  $]-\infty, a_1[$, et l'autre dans $]a_n,\infty[$). D'après les tests numériques que j'ai effectués sur ordi, lorsque les deux racines supplémentaires de $Q$ sont complexes conjuguées, le wronskien s'annule deux fois, une fois dans $]-\infty, a_1[$, et une fois dans $]a_n,\infty[$, ce qui contredit les hypothèses. Mais je n'arrive pas à le prouver.
Après je bloque.

Réponses

  • Modifié (November 2023)
    Un gif pour illustrer : $P$ est de degré 5 (ses racines sont les points rouges, les entiers pairs de -4 à +4). $Q$ est de degré 6, ses racines sont en vert. Ses 4 racines réelles (-3,-1,+1,+3) sont entrelacées avec celles de $P$. Les deux autres racines, complexes conjuguées, se balladent, et le wronskien (croix blanches) s'annule toujours quelque part sur l'axe réel.

    Après je bloque.
  • J'ai réussi à me convaincre plus ou moins que c'est vrai. Je note $\{P,Q\} := PQ'-P'Q$ le wronskien de $P$ et $Q$. Comme
    $$
    \left(\frac{P}{Q}\right) ' = -\frac{ \{P,Q\} }{Q^2},
    $$
    dire que $\{P,Q\}$ n'a pas de racine réelle est équivalent à dire que la fraction rationnelle $P/Q$ est monotone (entre deux pôles consécutifs). Quand $\deg Q = 1+\deg P$, cette fraction a un zéro simple en $\infty$. On peut se ramener au cas où $\deg Q\leq \deg P$ par une homographie réelle de pôle réel (autre qu'un zéro de $P$ sinon on tourne en rond).
    Après je bloque.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!