Borne inférieure

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Réponses

  • C'est dramatique. 
    Incapable de recopier un exercice en changeant les signes.
    Et tu es prof de maths ! Stop, recycle toi, passe le CAPES pour devenir prof de français, ou d'espagnol. Ou prof des écoles, pourquoi pas. 
    Mais pas prof de maths.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Quand troisqua a parlé de changer $f$ en $-f$ c'était évidemment une coquille. Il fallait lire, comme dans mon message, changer $f$ en $x\mapsto f(-x)$.
  • troisqua
    Modifié (November 2023)
    Merci JLT. L'idée est une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées pour inverser la monotonie.
  • hx1_210
    Modifié (November 2023)
    @OShine tu ne comprends pas car tu travailles mal.
    Tu n’as plus les bases. Je ne te juge pas, comme moi tu enseignes en collège et au bout d’un moment on perd les automatismes (on en construit d’autres mais c’est un autre sujet)
    Il te faut  reconstruire ces bases. Tant que tu ne l’auras pas fait tu t’éparpilleras et tes questions agaceront les intervenants à bout de patience.
    Tu ne comprends pas la correction de cet exercice parce que tu ne comprends pas que la continuité et la dérivabilité d’une fonction sont des propriétés qui decrivent la rigidité de sa courbe.
    Il te faut prendre un bouquin de première C et de TC des années 70 et le bosser. En parallèle un livre d’exemples et de contre exemple est utile.
    Commence par des exercices que tu sais faire puis poursuis avec des exercices que tu sais commencer. 
    Clairement tu travailles des notions trop difficiles pour toi et cela ne sert à rien.
    Et surtout arrête de passer d’un sujet à un autre. Tu ne peux pas travailler les actions de groupes hier et de la dérivabilité aujourd’hui.
    Tu es professeur, tu as réussi le Capes donc tu as su faire tout cela. Ne te gave pas comme une oie, prends du recul.
  • gerard0
    Modifié (November 2023)
    Hx1_210,
    tu perds ton temps. Je lui disais ça il y a 5 ans, quand il préparait le capes, il s'y est refusé. Depuis, d'autres lui ont dit ça, refus ou non lecture, il reste sans moyens par rapport à des exercices simples du lycée. Heureusement pour lui, il a passé le "capes-covid", où il n'y a pas eu d'oral, et a été capable de limiter les dégâts à l'écrit (il reproduit assez bien les corrigés qu'il a fréquentés, même s'il oublie ensuite, faute d'avoir compris).
    Il aime se "gaver comme une oie", laisse-le faire. J'ai fini par renoncer à "l'aider", puisqu'il ne veut pas agir intelligemment. Des dizaines d'autres font comme moi sur le forum.
    Cordialement.
  • bd2017
    Modifié (November 2023)
    @hx1_210 je suis MDR. Si tes conseils portent leurs fruits alors chapeau bas ! 
    Depuis plus de 5 ans personne n'a réussi à faire changer  @Os d'un iota.
     
  • zygomathique
    Modifié (November 2023)
    or la fonction affine $ x \mapsto f(0)+mx $ est ... croissante (car m > 0) donc tend vers -oo en -oo
    ce qui permet de conclure que ... f a même limite en -oo
    ce qui est contradictoire avec ... l'hypothèse que $ f \ge 0 $ (énoncé)
    ce qui permet de conclure que ... l'hypothèse m > 0 est fausse
    donc m = 0  (car par définition $ m \ge 0$ )

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • raoul.S
    Modifié (November 2023)
    Je relève également ceci : 
    hx1_210 a dit :  
    Tu n’as plus les bases.

    À remplacer par : tu n'as pas les bases.

  • @raoul.S je ne me permets pas d’en juger mais vu le niveau du capes du aux reformes apres 2011 contre lesquelles les enseignants du supérieur n’ont jamais vraiment protestées cela ne me parait pas impossible.

    Rappel un certifié n’est pas un enseignant de 6e, il peut enseigner jusqu’en BTS. Mais forcément quand on détruit les filières disciplinaires et que l’on rend le métier insupportable les candidats ayant les bases font autre chose: doit-on reprocher à @OShine d’essayer de se former quand des centaines de certifiés sont plus mauvais que lui et n’en ont rien à faire tout occupé à faire carrière en mettant en place des classes puzzles et des serious games. Ne soyons pas injustes.
  • https://les-mathematiques.net/vanilla/profile/hx1_210
    J'ai l'impression d'avoir écrit la même chose mot pour mot au moins 5 fois...
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • bd2017
    Modifié (November 2023)
    @hx1_210 on ne reproche pas à @Oshine de vouloir se former. Mais on lui reproche la façon de le faire.
     
  • zeitnot
    Modifié (November 2023)
    Il y a surtout le gros problème du travail systématique avec des corrigés sous le nez, c'est une vraie impasse.
    Aux échecs j'aime bien travailler la tactique, c'est très plaisant. C'est comme résoudre les exercices.
    Je résous un problème, si je suis sûr de moi, je ne regarde pas le corrigé.
    Je résous un problème, mais j'ai un doute car je me dis qu'il y a peut-être mieux. Ou alors je veux valider la justesse de mon calcul car la situation est complexe. Je regarde la correction.
    Je cherche pendant 20 minutes un exercice. Je ne trouve pas, je ne regarde surtout pas la correction. Je me couche ou je passe à un autre exercice. Je reviendrai dessus demain. Souvent ça débloque au fil des jours.
    Si au bout de trois ou quatre jours je ne trouve pas, parfois je laisse tomber et je ne regarde pas la solution. Parfois si vraiment le problème m'obsède (j'ai souvent envie de m'arracher les cheveux) je regarde et j'essaie  absolument d'en tirer une leçon. Pourquoi je n'ai pas trouvé, quelles sont les clés qui pourraient me permettre de trouver une autre fois pour un problème un peu similaire. Si la correction est vraiment trop complexe pour mon niveau (je ne suis pas gmi), je laisse tomber. Travailler cette correction ne me servira strictement à rien, ne m'apprendra rien, et seul devant l'échiquier je serai toujours au même point.
    Beaucoup de joueurs multiplient les exercices de tactiques, se gavent de corrections, en se disant que plus ils en font, meilleurs ils vont être. Et qu'ils retiendront bien quelque chose sur la masse d'exercices vus. C'est une grosse erreur.
    La vie est injuste surtout pour ceux qui partent avant les cheveux blancs.
  • OShine
    Modifié (November 2023)
    @gerard0
    C'est peut-être un exo niveau lycée mais il a été posé à un oral de préparation à l'agreg externe. 

    @zygomathique
    Il faut maintenant traiter le cas $f'<0$.
  • Thierry Poma
    Modifié (November 2023)
    @OShine : qui t'a dit que l'exercice du début que tu proposes est de niveau lycée ? Je pense que tu lis mal ce que l'on te dit.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • hx1_210
    Modifié (November 2023)
    @OShine

    On s’en fiche du cas ou la dérivée est  tout le temps négative.
    Et pour cause c’est l’inf de la valeur absolue que l’on cherche. @JLT t’a expliqué comment faire. L’as-tu lu?

    Cet exercice n’est pas de niveau lycée mais voici une question de niveau seconde :
    $f$ est croissante sur $\R$ déterminer le sens de variation sur $\R$ de $g:x \mapsto f(-x)$ 

    Je te le dis autrement si tu montes à l’aller que fais-tu au retour ?
  • Oui, il faut traiter le cas f' < 0.
    Et tu n'y arrives pas.
    Un (bon) lycéen saurait le faire, parce que le lycéen est fainéant, et donc il essaie de comprendre ce qu'il lit. Quand on comprend ce que l'on lit, on le mémorise facilement.
    Toi, tu as renoncé à comprendre ce que tu lis. Ok.
    Mais du coup, tu ne sais que recopier des solutions. Et sur cette question, ça tourne au ridicule.

    Pour Hx1_210 : Il faut savoir qu'OShine pose des questions sur ce forum, mais sur d'autres forums également.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • @hx1_210
    Si $f$ est croissante, alors $g$ est décroissante car on a une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
    Sinon, soit $x<y$. Alors $-x>-y$. Et par croissance de $f$, $f(-x)> f(-y)$ soit $g(x)>g(y)$.
    Donc $g$ est croissante.

    On se ramène bien à une fonction croissante en prenant $x \mapsto f(-x)$. Donc inutile de refaire le raisonnement.
    Mais j'ai une question : pourquoi on a le droit de prendre cette fonction $g$ définie par $g(x)=f(-x)$ ? 

  • @lourrran
    Une tentative.
    Si $f'<0$, alors $m \leq |f'(t)|$ implique que $f'(t) \leq -m$. On a aussi $f'(-t) \leq -m$.
    Posons $g(t)=f(-t)$.
    On a $g'(t)=-f'(-t) \geq m$. On se ramène au cas précédent.
    Puis on remarque que $\{ |f'(t)| \ | \ t \in \R \}= \{ |g'(t)| \ | \ t \in \R \}$ car $g'(t)=- f'(-t)$ donc $|g'(t)|=|f'(-t)|$.
    Donc $\inf \{ |f'(t)| \ | \ t \in \R \}= \inf \{ |g'(t)| \ | \ t \in \R \}$ donc c'est la même chose de regarder l'inf des deux ensembles.

  • Il y a 10 passages avec des symboles en Latex dans ta réponse. Objectif atteint.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • hx1_210
    Modifié (November 2023)
    @OShine je vais te dire comme à mes collégiens, en mathématiques il n'y a pas de droit, il n'y a pas de règle, on fait ce que l'on veut du moment que ce n'est pas absurde et que cela nous fait progresser vers la solution du problème. On peut même créer des nombres des points et tout un tas de trucs c'est ça qui est cool. B)

    Ta rédaction réussit à être à la fois lourde et imprécise et n'est pas un signe de bonne compréhension. 
    Une bonne rédaction dégage les argument essentiels, et elle quantifie correctement pour montrer où se trouvent les objets que l'on étudie et quelles sont leurs relations. Le but n'est pas de multiplier les symboles $\LaTeX$ mais d'être convaincant.
    Lis la réponse de @JLT et compare-la à la tienne.
     Et surtout réfléchis aux conseils que tu as reçus à de nombreuses reprises. Car si tu veux passer l'agrégation ce n'est pas comme cela qu'il faut s'y prendre, et si tu fais des mathématiques pour le plaisir, fais des trucs plus à ta portée tu souffriras moins.
    Qu'as-tu retenu de cet exercice ? Car sa correction en elle-même n'a aucun intérêt.
    @Lourran je vois ce que tu veux dire.
  • OShine
    Modifié (November 2023)
    Les réponses données sont succinctes car leur niveau est très élevé mais ce n'est pas le cas de la majorité des gens.

    Quand les experts du forum écrivent il suffit de prendre $g : x \mapsto f(-x)$ pour le cas $f'<0$ pour moi ce n'est pas évident, je dois le démontrer pour me prouver qu'on arrive vraiment au résultat en utilisant ce raccourci.
    Dans ma tête je me dis : en quoi prendre cette fonction $g$ ne change pas le problème initial ? Pourquoi on a le droit de la prendre ? Si on la prend on démontre la même chose ? 
    Peut-être que vous pensez que ce sont des questions bêtes, mais tout le monde n'a pas un niveau stratosphérique en maths.
  • Quand on fait des exercices de niveau lycée, c'est qu'on considère qu'on a en gros le niveau lycée, à peu près.
    Et quand on fait des exercices de niveau agreg, c'est qu'on considère qu'on a en gros le niveau agreg. Et donc devant cet exercice, on doit se comporter comme un agrégatif, pas comme un collégien.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • OShine a dit : 
    Quand les experts du forum écrivent il suffit de prendre $g : x \mapsto f(-x)$ pour le cas $f'<0$ pour moi ce n'est pas évident...

    C'est parce que tu ne visualises rien... Les trivialités comme celle-ci on les visualise avant de les écrire proprement. Tandis que toi tu cherches d'abord à écrire.

    Si ça 


    c'est $f$ alors ça 


     c'est $x\mapsto f(-x)$... c'est dans la tête que l'on voit ça, ensuite on écrit rigoureusement. 

  • OShine
    Modifié (November 2023)
    D'accord merci.
  • Le résultat est-il vrai si la fonction est seulement dérivable ? (Question peut-être déjà envisagée dans ce fil).
  • Pomme de terre
    Modifié (November 2023)
    @Magnéthorax, oui d'après le théorème de Darboux : si $f'$ ne s'annule pas, elle reste de signe constant sur tout intervalle.
  • Magnéthorax
    Modifié (December 2023)
    Sans Darboux:

    1. Soit $f : \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ continue et minorée. On suppose que pour tout $a\in\mathbf{R}$, l'ensemble $f^{-1}\left(\left]-\infty,a\right]\right\}$ est borné. Montrer que $f$ atteint sa borne inférieure.
    2. Soit $f : \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ dérivable et minorée. Soit $\varepsilon\in\mathbf{R}_+^*$.
    (a) Soit $g : \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ définie par $g\left(x\right)=f\left(x\right)+\varepsilon\left|x\right|$. Montrer que $g$ est minorée et atteint sa borne inférieure.
    On note $x_0$ le minimum de $g$.
    (b) Montrer que $\left|f'\left(x_0\right)\right| \leq \varepsilon$. On pourra considérer la limite quand $h\to 0$ de
    $$
    \frac{f\left(x_0-f'\left(x_0\right)h\right)-f\left(x_0\right)}{h}.
    $$ Source : un vieux bouquin d'oral MP/MP*.
  • JLT
    JLT
    Modifié (November 2023)
    On peut procéder comme ceci sans Darboux :
    1) Le cas où $f$ est monotone a été traité. Supposons dorénavant $f$ non monotone.
    2) Il existe alors $a<b<c$ tels que ($f(a)<f(b)$ et $f(b)>f(c)$) ou ($f(a)>f(b)$ et $f(b)<f(c)$) .
    3) Dans le premier cas, soit $d\in [a,c]$ un point où $f_{[a,c]}$ atteigne son maximum. Alors $d\in ]a,c[$ donc $f'(d)=0$. Le deuxième cas est analogue.
  • Bonjour,
    Généralisons :  soit $n\in\mathbf{N}^*$. $\mathbf{R}^n$ est muni d'une norme notée $\left\| \cdot \right\|$. Soit $f : \mathbf{R}^n \to \mathbf{R}$ différentiable et minorée. Montrer que pour tout $\varepsilon \in\mathbf{R}_+^*$, il existe $x_0\in\mathbf{R}^n$ tel que:
    $$
    \left\| \mathrm{grad} \left(f\right) \left(x_0\right)\right\| \leq \varepsilon
    $$
  • OShine
    Modifié (December 2023)
    @Magnéthorax
    Je ne comprends pas trop la conclusion de l'exercice, on démontre quoi ? 
    J'ai pris un dessin pour commencer, et on voit que l'exponentielle ne vérifie pas la condition car par exemple $f^{-1} ([-\infty,1])$ n'est pas borné. 
    Pour la question 1 j'ai cherché 30 minutes, j'ai eu l'idée d'utiliser le théorème des bornes atteintes, de considérer $f_{| f^{-1} (]-\infty,a])}$ mais ça ne semble pas fonctionner car on ne sait pas si $f^{-1} ([-\infty,a])$ est un segment.
    Je n'ai pas trouvé d'autre idée.
  • Magnéthorax
    Modifié (December 2023)
    @OShine : normal que l'exponentielle ne vérifie pas l'hypothèse de la question 1. puisque la conclusion est qu'une fonction qui vérifie la condition atteint sa borne inférieure. Or la borne inférieure de l'exponentielle est...

    Ce que l'on démontre est : pour une fonction vérifiant l'hypothèse de la question 2., pour tout $\varepsilon \in\mathbf{R}_+^*$, il existe $x_0$ tel que $\left|f'\left(x_0\right)\right|\leq \varepsilon$ ($\left|f\left(x_0\right)\right|\leq \varepsilon$ était clairement à côté de la plaque). Cela a un rapport avec ton exercice du tout départ. Le vois-tu ?

    PS. Les bornes atteintes, ce n'est pas que pour compacts particuliers que sont les segments.
  • OShine
    Modifié (December 2023)
    @Magnéthorax
    C'est la caractérisation de la borne inférieure je vois merci.
    Je pense avoir enfin trouvé une preuve à la première question. Il m'a fallu une heure au total pour cette question, j'espère que ce que j'ai fait est correct.

    1) $f$ est minorée donc elle admet une borne inférieure $ \inf \  \{ f(x) \mid x \in \R\}$.
    Posons $J=f^{-1} ( ]-\infty,a])$.
    Montrons que $J$ est un compact de $\R$.
    L'intervalle, $]-\infty,a]$ étant un fermé de $\R$, son image réciproque $J$ est aussi un fermé de $\R$ car l'image d'un fermé par une application continue est un fermé.
    $J$ est bornée donc il existe un réel $M$ tel que $J \subset [-M,M]$ avec $[-M,M]$ compact.
    Comme $J$ est un fermé inclus dans un compact, alors $J$ est un compact.
    On considère l'application $f_{ | J}$ continue. D'après le théorème des bornes atteintes, $f_{ | J}$ atteint son minimum en un point $z_0$, notons $m$ ce minimum.
    On a $\boxed{f_{ | J} \geq m  \ \text{et} \ m \leq a}$.
    Soit maintenant $x \in \R \setminus J$. Alors $f(x) >a \geq m$.
    On a donc montré que $\forall x \in \R ,\ f(x) \geq m=f(z_0)$.
    Finalement $\boxed{  \inf \ \{ f(x) \mid x \in \R\} = m= f(z_0) }$.
  • OShine
    Modifié (December 2023)
    Pour 2.a je propose ceci, je ne suis absolument pas sûr de moi. 
    2.a) 
    On a $\forall x \in \R ,\ g(x)=f(x)+ \varepsilon |x| \geq f(x) \geq \inf_{x \in \R} f(x)=m$.
    Donc $g$ est minorée.
    $g_{ | J}$ est continue sur le compact $J$ donc elle atteint sa borne inférieure $m'$ en $y_0$.
    On remarque que $\boxed{m' \leq a + \varepsilon |y_0|}$.
    Soit $x \notin J$. 
    Alors $g(x) > a+ \varepsilon |x| \geq m'+ \varepsilon ( |x| -|y_0|)$.
    En faisant tendre $\varepsilon$ vers $0$, j'obtiens $g(x) \geq m'$.
    On a montré que $\boxed{\inf_{x \in \R} g(x)= m' = g(y_0)}$.
  • La question 2b je n'y arrive pas, je ne comprends pas l'indication.
  • JLapin
    Modifié (December 2023)
    Tu peux déjà reprendre la question 2a) : des problèmes de quantificateurs et de variables.
  • OShine
    Modifié (December 2023)
    Je ne comprends pas l'erreur donc je ne vois pas comment la corriger.
    Je ne vois pas où est mon erreur.
  • @Magnéthorax
    As-tu une solution à l'exercice ? 
    Je ne sais pas faire la question 2a ni la 2b.
  • JLapin
    Modifié (December 2023)
    As-tu une solution à l'exercice ?

    Bien entendu qu'il a une solution à son exercice...

  • Je ne sais pas quoi corriger dans la 2.a donc je suis bloqué. 
    La 2.b je n'arrive même pas à écrire une ligne. 
  • OShine
    Modifié (December 2023)
    Vu que personne ne donne d'aide pour l'exercice j'abandonne cet exercice.
  • C'est préférable en effet. Copier une énième correction ne t'apportera rien.
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