Borne inférieure

Bonjour,

Je bloque sur l'exercice suivant. 
Soit $f \in \mathcal C^1(\R,\R^{+})$. Déterminer $\inf \{ |f'(t) | \ , \ t \in \R \}$.


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Réponses

  • SkyMtn
    Modifié (November 2023)
    Tu peux regarder ce qu'il se passe quand la dérivée change de signe.
  • troisqua
    Modifié (November 2023)

    Si l'infimum proposé était égal à $c>0$ alors pour tout $t\in\mathbb{R}$, $\left|f'\left(t\right)\right|\geqslant c>0$. Donc $f'$ ne s'annulerait pas sur $\mathbb{R}$ et, étant, continue sur cet intervalle, elle serait de signe constant donc quitte à changer $f$ en $f\circ(-id)$, on pourrait supposer $f'\geqslant c$ et donc, en prenant un réel $x<\min(0,-\frac{f\left(0\right)}{c})$, on obtiendrait $$f\left(0\right)\geqslant f\left(0\right)-f\left(x\right)=\int_{x}^{0}f'\left(t\right)dt\geqslant\left(0-x\right)c=-cx>f\left(0\right)$$ ce qui est absurde donc l'infimum demandé vaut $0$.

    Edition suites aux remarques de coquilles d'Alexique et JLT


  • D'habitude, tu travailles sur des exercices comme ça : 
    Soit $f \in \mathcal C^1(\R,\R^{+})$
    Montrer que $\inf \{ |f'(t) | \ , \ t \in \R \}=$ ... et l'énoncé te donne la valeur en question.

    Et sur ces exercices, tu galères.

    Là, c'est plus compliqué, il faut en plus que tu devines la valeur que j'ai remplacée par des points de suspension. C'est mort.

    Au fait, quelle valeur tu 'imagines' à la place de ces points de suspension ?

    Imagine que tu passes un oral, il va falloir apporter un élément de réponse à cette question dans les 15 secondes.

    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • JLapin
    Modifié (November 2023)
    Je bloque sur l'exercice suivant.

    As-tu envisagé de prendre plein d'exemples de fonctions pour calculer cette bone inférieure et ainsi formuler une conjecture ?

  • OShine
    Modifié (November 2023)
    @SkyMtn
    La dérivée ne change pas toujours de signe, cf l'exponentielle.

    @troisqua
    La preuve est belle mais je ne vois rien d'intuitif. Comment trouver cette solution ? Ca me semble parachuté.
    On ne peut pas faire avec la caractérisation de la borne supérieure ? 
    Il faut montrer que $c=\inf \{ |f'(t) \ , \ t \in \R \}=0$.
    • On a $\forall t \in \R \ |f'(t)| \geq 0$ donc $c \geq 0$.
    • Il faut montrer que $\forall \varepsilon >0 \ \ \exists x_0 \in \R \ |f'(x_0)|  \leq c+ \varepsilon$. Je ne vois pas comment montrer cela.
    @JLapin
    Le souci est que je connais peu de fonctions de classe $C^1$ positives à par l'exponentielle, ça marche bien pour l'exponentielle.

    @lourrran
    Mon souci est que je cherchais des fonctions $C^1$ mais pas $C^2$ alors que j'aurais pu en chercher des $C$ infinies.
    La fonction carrée est $C^1$ positive et la valeur absolue de sa dérivée à $0$ comme minimum. 
  • Alexique
    Modifié (November 2023)
    @troisqua donc $f(0)>-f(0)$, où est la contradiction ? $\min(0,\frac{f(0)}{c})=0$ ?

    Tu voulais dire $x<-\frac{f(0)}{c}$ ? et alors $f(0)\geq ... = -cx>f(0)$ d'où l'absurdité, isn't it ?
    Ce qui montre au passage qu'Oshine dit qu'il a compris... un truc faux donc qu'il n'a pas compris mais bref...
  • Troisqua a proposé une solution écrite par un matheux, pour un matheux. Il n'avait pas l'intention de t'aider, il voulait juste rappeler que c'est un exercice ultra standard, que tout étudiant de MathSup a fait au moins une fois.

    La démo de Troisqua, (l'idée derrière sa démo, ses calculs sont faux), c'est : Imaginons une fonction strictement croissante, dont la dérivée est toujours supérieur à une valeur $c$ (c strictement positif).  Tu peux ensuite broder en parlant de disjonction de cas, tu aimes bien cette expression ($f$ strictement croissante, $f$ strictement décroissante, $f$ autre)
    Prenons un point de cette courbe, par exemple le point d'abscisses $x_0=1000$. Traçons la droite de coefficient directeur $c$, passant par le point $(x_0,f(x_0))$ ; je t'invite à faire le dessin, sinon tout ce que je raconte ne servira à rien ; pour tous les $x$ inférieurs à $x_0$, la courbe représentative de cette fonction est en dessous de cette droite.
    Et donc pour des valeurs de x très loin à gauche (je te laisse retraduire ça en mots mathématiques), on a $f(x)<0$. Et c'est contradictoire avec l'hypothèse que tous les f(x) sont positifs.

    En fait, quand tu as posté ta question, tu aurais pu dire par exemple : 
    Je vois bien que le truc important, c'est que l'ensemble image est $\mathbb{R}^+$ et non $\mathbb{R}$

    Mais même ça, tu ne l'as pas vu.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • @lourrran
    Je n'ai rien compris.
  • Ok,
    Je savais que Troisqua avait raison, mais j'ai voulu faire comme si il y avait un espoir.

    Errare humanum est, perseverare humanum ?

    Je persévère.

    On peut réécrire l'exercice :
    Soit 3 réels $(x_0, y_0, c)$ avec $c > 0$
    1a) Quelle est l'équation de la droite $D$ passant par $(x_0,y_0)$ et de coefficient directeur $c$ ?
    1b) Faire un dessin.
    2a) Calculer $x_1$, l'abscisse du point d'intersection entre cette droite et l'axe des abscisses. 
    2b) Compléter le dessin.
    3a) Déterminer le(s) intervalle(s) où cette droite $D$ est en dessous de l'axe des abscisses.
    3b) Compléter le dessin.

    On considère maintenant une courbe (C) dont la pente est toujours supérieure ou égale à $c$, et qui passe par le point $(x_0,y_0)$ 
    4a) Que peut-on dire de la position relative de cette courbe $C$ et de la droite $D$ ?
    4b) Compléter le dessin.
    5a) Est-il possible que la courbe en question soit la courbe représentative d'une fonction de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}^+$ ?
    5b) Compléter le dessin.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • @Alexique : merci pour la correction de la bêtise :). Je la laisse pour que tout le monde comprenne ta remarque. Il manque effectivement le $-$ devant $\frac{f(c)}{c}$ pour avoir $f(0)>f(0)$ comme tu l'as bien remarqué.
    @Oshine : cette preuve ne t'est pas destinée. Elle est l'aboutissement d'un raisonnement que je n'ai pas le courage de t'expliquer (car tu as un lourd passif sur ce site qui me fait agir comme cela à ton égard). Lourrran a très bien résumé l'histoire. Puis je me suis amusé à chercher un joli $x$ (et me suis fait prendre à mon propre jeu avec une erreur de signe comme l'a vu bien vue Alexique) pour éviter de faire un passage à la limite et obtenir ainsi une absurdité.
  • OShine
    Modifié (November 2023)
    1.a) $y=cx+(y_0-c x_0)$
    1.b) $y=0$ donne $c x_1 =y_0 - c x_0$ donc $x_1= \dfrac{y_0-c x_0}{c}$
    3.a) La droite est en dessous de l'axe des abscisses sur $]-\infty,x_1]$.
    4.a) $C$ est en-dessous de $D$ sur $]-\infty,x_0]$.
    5a) Non,.
    On voit que ça ne marche pas mais ça n'aide pas à trouver une preuve.
  • Si la dérivée ne s'annule pas elle est de signe constant ce qui oblige la fonction à être strictement monotone mais elle est positive donc doit s'affaisser en $-\infty$ donc avoir des pentes arbitrairement petites d'où un infimum nécessairement nul pour la dérivée.
  • JLT
    JLT
    Modifié (November 2023)
    On peut aussi rédiger comme ceci : supposons que $f'$ ne s'annule pas. Quitte à remplacer $f(x)$ par $f(-x)$ on peut supposer que $f'(x)>0$ pour tout $x$. Pour tout $x<0$ il existe $c_x\in ]x,0[$ tel que $f'(c_x)=\frac{f(0)-f(x)}{0-x}\leqslant-\frac{f(0)}{x}$ (édit : sens de l'inégalité changé). Le membre de droite tend vers $0$ donc $\inf f'\leqslant 0$. Comme $f'>0$ on en déduit que $\inf f'=0$.
  • OShine
    Modifié (November 2023)
    J'ai l'impression que c'est le théorème des accroissements finis.
    Je n'ai pas compris pourquoi on a le droit de remplacer $f(x)$ par $f(-x)$. 
    Pourquoi on prend $x<0$ ? Pourquoi pas $x>0$ ? 
    Le membre de droite tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers quoi ? 
    Pas compris le rapport entre le membre de droite qui tend vers $0$ et le $\inf f' \leq 0$. Pour les bornes inf le seul lien que je connais avec les limites c'est la caractérisation séquentielle, mais ici il n'y a pas de suites.
  • @Oshine : que penses-tu de cette réflexion ? "Si après 20 ans de patinage, on tombe brutalement et systématiquement toutes les 20s sur la glace et qu'on passe son temps à demander aux gens, inlassablement, autour de soi, comment on fait pour tenir debout, alors il faut changer d'activité."
  • JLapin
    Modifié (November 2023)
    @troisqua
    Le patron de la patinoire l'aurait déjà exclu avant la fin de la première séance pour mise en danger de sa personne et de celle des usagers.
    Fort heureusement, sur le forum, Oshine ne présente indiscutablement pas de danger physique pour lui ou pour autrui, sauf s'il compose ses beaux messages en Latex au volant. Pour ce qui est d'un danger psychique, c'est une question qui se pose : ces enchaînements de "pas compris" en rafale et ses réponses à des messages qu'il n'a pas lui-même ouvert pour critiquer sans fondement tel ou tel sujet ou bouquin ou site ou recopier des pans entiers de corrections ou des rapports de jurys ont tendance à m'énerver un peu...
  • J'avais fait une faute de frappe, je l'ai corrigée.
  • OShine
    Modifié (November 2023)
    Je ne comprends toujours pas pourquoi  ça marche pour $f(-x)$, pourquoi on prend $x<0$ et d'où sort le "donc $\inf f' \leq 0$". Je ne vois pas le rapport avec la limite de $f'(c_x)$.

    Je ne comprends pas l'idée de cette preuve, c'est juste une suite de symboles mathématiques pour moi. 
  • Dommage. Arrête de lire des corrigés d'exos, ce n'est pas bon pour les neurones.
  • lourrran
    Modifié (November 2023)
    Tu as lu la réponse de Troisqua, une suite de symbole mathématique, avec des erreurs, et tu as répondu : 'la preuve est belle'.  Il y avait des symboles mathématiques écrits en Latex, donc ça répondait à tes critères, c'était bon.

    Tu as écrit une preuve (à 90%, il reste 2 ou 3 phrases à ajouter), mais il n'y avait pas de symboles mathématiques, juste des arguments avec des mots en français, et tu n'as pas vu que c'était une preuve.

    En fait, comme d'habitude, tu confonds 'succession de symboles ésotériques écrits en Latex' avec 'Mathématiques'.

    Regarde cette page Wikipédia, nulle part on ne dit qu'un texte mathématique doit forcément contenir des symboles ésotériques.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • OShine
    Modifié (November 2023)
    Je n'avais pas demandé de corrigé, j'y arrive mieux quand je le fais moi-même mais vous avez donné directement des corrigés succincts que je ne comprends pas.

    Sur le problème sur les matrices de permutations, j'ai eu juste des indications j'ai réussi à terminer le problème par moi-même.
    Je suis peut-être plus fort en algèbre qu'en analyse.
  • Il faudrait juste te contenter d'une brève indication par exo. Les fils à rallonge où chaque réponse génère 5 questions n'incitent pas à réfléchir (=chercher vraiment l'exo, pas chercher à comprendre une solution).
  • jean-éric
    Modifié (November 2023)
    @OShine

    Quand tu écris que tu ne connais que peu de fonctions de classe $C^1$ positives à part l'exponentielle, ce n'est pas vraiment vrai...

    Tu connais, par exemple $f(x)= \sin x +2$, ou $g(x)=\text{e}^{-x} \cos x +3$, ou $h(x)=\frac{1}{1+x^2}$, avec déjà les idées présentent dans ces 3 exemples tu peux en construire pas mal non ? 

    Jean-éric
  • zeitnot
    Modifié (November 2023)
    Ou plus simplement $f(x)=x^2$ fonction de référence en seconde.
    La vie est injuste surtout pour ceux qui partent avant les cheveux blancs.
  • @lourrran
    Je ne comprends pas le lien entre les preuves et le dessin. 
    Pourquoi prendre $x<0$ ? Quel rapport entre la limite de $f'(c_x)$ qui vaut $0$ et $\inf f'=0$ ? 
  • zygomathique
    Modifié (November 2023)
    Salut
    posons $ m = \inf \{|f'(t)| \mid t \in \R \} $ et supposons que $m > 0$.
    Si $m > 0$ alors $f'$ ne s'annule pas
    quitte à changer $f$ en $-f$ on peut donc supposer $f' > m > 0$
    alors pour tout réel $x$ et tout réel $a$ : $ f(a) - f(x) = \int_x^a f'(t)dt$
    ce qui est vrai pour tout réel $a$ est vrai pour le réel $a = 0$ (pour se simplifier la vie ... mais si tu veux prendre $a = \pi + \sqrt 2$ pour "faire" du LaTeX tu peux !!)
    prenons alors $x < a$ et alors  $ f(0) - f(x) = \int_x^0 f'(t)dt \ge \int_x^0 mdt = -mx \iff f(x) \le f(0) + mx $
    or la fonction affine $x \mapsto f(0) + mx$ est ...
    ce qui permet de conclure que ...
    ce qui est contradictoire avec ...
    ce qui permet de conclure que ...
    (à toi de compléter les quatre dernières phrases).

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • Magnéthorax
    Modifié (November 2023)
    Oshine a écrit : "Le souci est que je connais peu de fonctions de classe $C^1$ positives à par l'exponentielle, ça marche bien pour l'exponentielle."
    Tu pourrais enseigner en seconde et tu pourrais avoir à présenter la fonction carré.
  • lourrran
    Modifié (November 2023)
    Dans ses explications, JLT s'intéresse aux réels $x$ inférieurs à $0$.
    Dans mes explications, je m'intéresse à une valeur $x_0$ quelconque, et aux réels $x$ inférieurs à $x_0$.
    C'est la même idée, JLT a juste donné une valeur précise là où je prends un $x_0$ quelconque. D'ailleurs, dans un précédent message, je proposais de choisir $x_0=1000$.  

    JLT a choisi $x_0=0$. C'est un choix.

    JLT formule le truc pas tout à fait comme moi.
    Moi je dis : Si la courbe monte avec une pente toujours supérieure à $c$, et qu'elle arrive au point $(x_0,f(x_0) )$, ça veut dire que pour des valeurs de $x$ du côté de $-\infty$, $f(x)$ était inférieur à $f(x_0) - c \times (x_0-x)$ et donc en particulier inférieur à $0$, ce qui est contraire à l'hypothèse que $f$ serait à valeur dans $R^+$
     Et JLT dit : Si la courbe monte et arrive au point (x_0,f(x_0) ) , et si en plus pour des valeurs de $x$ du côté de $-\infty$ , $f(x) >0$ , ça veut dire que la 'pente moyenne de la courbe' est inférieure à   $f(x_0)  / (x_0-x)$, et ce nombre peut être rendu aussi petit que l'on veut en faisant tendre $x$ vers $-\infty$. Et par ailleurs il y a forcément au moins une valeur $x_1$ entre $x$ et $x_0$ pour laquelle $f'(x_1)$ vaut cette pente moyenne.

    Une proposition $P$ d'un côté, sa contraposée $P'$ de l'autre, c'est du pareil au même. 

    Tu ne comprends toujours pas. Si on ne te connaissait pas, on pourrait dire que c'est incroyable.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • bd2017
    Modifié (November 2023)
    @oshine a  dit :  Quel rapport entre la limite de $f′(c_x)$ qui vaut $0$  et $\inf |f′| =0$ ? 

    Par moment, il faut arrêter.  Ou alors on a affaire à de la débilité profonde ou alors tu te fous du monde.

     
  • zeitnot
    Modifié (November 2023)
    Je reconnais un certain talent à OShine qui est au maths ce que Gunther Love est à la guitare. 
    La vie est injuste surtout pour ceux qui partent avant les cheveux blancs.
  • @zeitnot : merci pour le partage, ça a mis de la lumière dans cette discussion ;)
  • Et Galois le Jimi Hendrix des maths alors ?
  • C'est un oral d'ENS ou un développement d'agreg ?
  • @bd2017
    Je suis sérieux je ne comprends rien au passage entre la limite et la borne inférieure. J'ai même relu des cours je ne comprends toujours rien.

    @Chalk
    Un oral d'ENS je pense que c'est bien plus dur que cet exercice, je n'essaierai jamais de faire un oral d'ENS. J'ai déjà lu les exercices, je ne comprends même pas l'énoncé. Le niveau est trop élevé.
    C'est une question qui a été posée à un oral d'agreg (préparation ou vrai oral je ne sais pas).
  • A l'oral d'agreg, quand un candidat a échoué à tous les exercices précédents, on peut lui proposer cet exercice, pour qu'il ne reparte pas bredouille.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • bd2017
    Modifié (November 2023)
    @Oshine la solution a été donnée à plusieurs reprises:  
    En particulier,  si $\inf |f'|= c$  avec $c>0$  cela implique que $|f'(x) | \geq c, \forall x. $   Alors  c'est impossible d'avoir des valeurs $c_x$ tel que $f'(c_x)$ tende vers $0.$ 
    Et c'est impossible que tu ne comprennes pas cela.... Cela sort de l'entendement. Donc j'estime que tu te moques de nous.
    Tu demandes des milliers d'explications mais on ne peut plus expliquer pourquoi 1+1 =2.
     
  • Tu ne peux plus expliquer mais tu expliques quand même.

    Tout le problème est là ...
  • OShine
    Modifié (November 2023)
    @Chalk
    Il y a une difficulté ici lors du passage à la limite. Dans le cours, on fait la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers l'infini, ici c'est la limite de $f'(c_x)$ quand $x$ tend vers moins l'infini donc ça me perturbe. Pour moi ici il y a un passage qui n'est pas si trivial.
    C'est un forum d'entraide... Ceux qui n'aiment pas expliquer des choses simples sont libres de ne pas intervenir dans ce fil. 
    Je suis prof, quand un élève ne comprends pas j'essaie de trouver un moyen qu'il comprenne. Je ne lui réponds pas que c'est trop facile et qu'il n'a qu'à se débrouiller. 
    Je ne comprends pas cette mentalité. 

    @bd2017
    Ok raisonnement par contraposée, je n'ai pas pensé à la contraposée ici donc je suis resté bloqué. 
    Je traite le cas "quitte à remplacer $f(x)$ par $f(-x)$".
    Si $f'(x) <0$ alors $f'(-x)=-f'(x) >0$.
     $-x>0$, donc il existe $d_x \in ]0,-x[$ tel que $f(-x)-f(0)=f'(d_x) (-x-0)$ donc $f'(d_x)=\dfrac{f(0)-f(x)}{x} \leq \dfrac{f(0)}{x} \longrightarrow 0$ lorsque $x$ tend vers plus l'infini.
    Par contraposée si $c = \inf \{ |f'(t)| \ , \ t \in \R \} >0$, pour $x$ assez grand $f'(d_x) <c$ ce qui est absurde.
  • @OShine : tu avoues connaître peu de fonctions positives de classe $C^1$, cela montre assez bien qu'il est temps de faire une pause. 
  • C'est simple de trouver des fonction C infinies, je parlais de trouver des fonctions $C^1$ qui ne sont pas $C^2$. 
    Mais ce n'est pas très utile dans l'exercice.
  • OShine
    Modifié (November 2023)
    @zygomathique
    Merci j'essaie de faire ta méthode demain, je suis fatigué. 

    @lourrran
    Si c'est la question la plus simple d'un oral d'agreg, vaut mieux que je ne me présente jamais. 
    Seuls les profs du supérieur peuvent savoir si cet exercice est facile ou difficile pour les étudiants. Je n'en ai aucune idée. 
  • Quand on parle de fonctions $\mathcal{C}^1$, personne n'imagine des fonctions qui sont  $\mathcal{C}^1$ mais pas $\mathcal{C}^2$. Surtout pas quelqu'un qui fait des maths du Latex 5 heures par jour pendant des années.

    Si au moins il n'y avait que ça,
    si au moins tu étais de bonne foi,
    mais non.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • @OShine : tu as écrit "si $f'(x)<0$ alors $f'(-x)=-f'(x)>0$" et c'est totalement faux.
  • Magnéthorax
    Modifié (November 2023)
    Pour rappel, tu as d'abord écrit : "Le souci est que je connais peu de fonctions de classe $C^1$ positives à part l'exponentielle, ça marche bien pour l'exponentielle."
    Comprenant que c'est aberrant, tu as écrit ensuite : "C'est simple de trouver des fonction C infinies, je parlais de trouver des fonctions $C^1$ qui ne sont pas $C^2$."
    Qui penses-tu tromper ?
  • Franchement, citer l'exponentielle pour ensuite dire que tu parlais des fonctions non C2, en plus tu nous prends pour des cons ?
  • @troisqua
    En effet, c'est $f'(-x)=-f'(-x)$.
  • Donc $f'(x)=0$ ?
  • Je voulais dire $(f(-x))'=-f'(-x)$. 
    Il vaut mieux poser $g : x \mapsto f(-x)$, et dire que $g'(x)=-f'(-x)$. 
  • Deux erreurs de suite sur une question niveau première S (celle que tu as probablement faite) !!
  • OShine
    Modifié (November 2023)
    @zygomathique
    Je réponds tard, j'avais beaucoup de travail au collège.
    Merci ta méthode est bien détaillée. J'ai complété à l'aide d'un dessin. 
    La fonction affine $x \mapsto f(0)+mx$ est au-dessus de la courbe de $f$.
    Ce qui permet de conclure que $f$ est négative sur $]-\infty,-\dfrac{f(0)}{m}[$.
    Ce qui est contradictoire avec $f$ positive.
    Ce qui permet de conclure que $c \leq 0$. Mais il est évident que $c \geq 0$. Donc $c=0$.

    J'aimerais aussi traiter le cas $f'<0$. Je n'ai pas compris pourquoi on a le droit de changer $f$ en $-f$. 
    Comment traiter le cas $f'<0$ ? 
    J'ai essayé mais je n'ai pas trouvé. 
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