Des points de concours, encore et toujours ...

jelobreuil

Bonsoir ou bonjour à tous,

Soit un triangle $ABC$, un point $P$ de son plan, et un cercle de centre $P$ et de rayon suffisamment grand pour que ce cercle coupe en deux points chacune des droites $(AB)$, $(BC)$ et $(AC)$. Soit $A_1$ le point d'intersection des tangentes au cercle en les points d'intersection du cercle et de $(AB)$ et $(AC)$, et $B_1$ et $C_1$ définis de même. 

Je constate alors que les trois droites $(A_1A)$, $(B_1B)$ et$(C_1C)$ sont concourantes en $Q$, et aussi que chacune de ces droites et deux des six tangentes sont concourantes : par exemple, $(C_1C)$, une tangente issue de $A_1$ et une tangente issue de $B_1$ concourent en $U$. 

Quels sont ces points de concours ? Et comment expliquer leur existence ?

Merci de vos éclaircissements !

Bien cordialement, JLB

Edit, pour l'explication, peut-être devrait-on considérer un cercle et trois sécantes se coupant deux à deux ?

Avec toutes mes plates excuses pour le changement de notations d'une figure à l'autre ...

Tonm

Bonjour, ou bien voir ce lien avec Brianchon's theorem; https://en.wikipedia.org/wiki/Tangential_polygon pour le point de concours des diagonales principales. Les autres points de concours $A,$ $B$ et $C$ peuvent être prouver indépendamment en tant  que pour 4 points sur le cercle (qui sont ici les points de tangences), leurs diagonales se coupent disons en $C$. Les points $U$ et $C_1$ sont définis comme points de rencontre des tangentes comme dans la première figure, alors $(UC_1)$ passe par $C$.
Cordialement.

jelobreuil

Merci beaucoup @Tonm !

C'est effectivement LE LIEN ad hoc !

Bien cordialement, JLB