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Polynomiale

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Réponses

  • Je te souhaite la bienvenue dans ce forum français. Mais, je parlais de ton raisonnement mathématique. Je ne vais pas m'étendre davantage, si tu es convaincu par tes arguments, c'est bon
    Le 😄 Farceur


  • Je pense que la preuve est suffisante, n'est-ce pas ?
  • Pour moi, ce n'est pas une preuve
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (November 2023)
    @TexasMain n'a donné aucune preuve dans ce fil.
    Je considère le cas $M(x)=x^k+\cdots+x+1+cx^i$ avec $0<i<k$  ( je laisse les cas $i=0$ et $i=k$). Alors
    $$Q(x)=(x-1)M(x)= x^{k+1}+cx^{i+1}-cx^{i}-1$$
    présente au plus 3 alternances de signe dans la suite de ses coefficients et
    $$Q(-x)= (-1)^{k+1}x^{k+1}+(-1)^{i+1}cx^{i+1}+(-1)^{i+1}cx^{i}-1$$
    en présente au plus 2. D'après Descartes, $Q$ a au plus 5 racines réelles comptées avec multiplicité, donc $M$ en a au plus 4. Par ailleurs le polynôme $x^4+x^3-5x^2+x+1$ a 4 racines réelles.
  • J'ai compliqué pour rien mon raisonnement
    Le 😄 Farceur


  • Votre approche semble correcte et belle
  • Ton argument avec Viète, il existe vraiment ? Pour le moment, on n'en a pas vu la couleur.
  • Modifié (November 2023)
    Mon raisonnement à un petit avantage, il dit qu'on ne peut trouver un polynôme $M$ d'ordre $4$ de la forme 
    $$M(x)=x^4+cx^3+x^2+x+1,\quad c\in \R$$ ayant toutes ces racines réelles.
    @TexasMain peux-tu nous trouver un exemple de $M$ de la forme   $M(x)=x^3+cx^2+x+1$. Je ne sais pas comment GaBuZoMeu les trouvent facilement ces exemples !
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (November 2023)
    La réponse est $k=4$. On voit que $x^4+x^3-4x^2+x+1=(x-1)^2\cdot (x^2+3x+1)$ fonctionne.
    Supposons maintenant que $a_kx^k+\cdots +a_1x+a_0$ satisfasse les conditions données où $k\ge 5$ et $a_k\neq 0$. Les racines de ce polynôme sont $x_1, x_2,\cdots, x_k$. Soit $s_r=\sum_{1\leq i_1<i_2<\cdots <i_r\leq n} x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}$.
    Supposons que $a_k\neq 1$.
    Alors, $a_{k-1}=a_{k-2}=\cdots= a_0=1$. Par la formule de Vieta, on peut trouver que $s_1=-c, s_2=c, s_3=-c, s_4=c$.
    où $c=\frac 1{a_k}\neq 0$. Nous avons $0\leq \sum x_i^2=s_1^2-2s_2=c^2-2c\Rightarrow c^2\ge 2c$. Alors, $c^2=s_1\cdot s_3=\sum x_i^2x_jx_k+4s_4=\sum x_i^2x_jx_k+4c\Rightarrow \sum x_i^2x_jx_r=c^2-4c$. Par conséquent, $c^2=s_2^2=\sum x_i^2x_j^2+2\sum x_i^2x_jx_k+6s_4=\sum x_i^2x_j^2+2c^2-8c+6c=\sum x_i^2x_j^2+2c^2-2c\Rightarrow 0\leq \sum x_i^2x_j^2=2c-c^2\Rightarrow 2c\ge c^2$. Nous prouvons également que $c^2\ge 2c$. Par conséquent, $c^2=2c$. Alors, $\sum x_i^2=c^2-2c=0\Rightarrow x_1=x_2=\cdots =x_k=0\Rightarrow c=-s_1=0$, contradiction. Ainsi, $a_k=1$.
    Supposons que $a_{k-1}=a_{k-2}=1$. Alors, par la formule de Vieta, on peut trouver que $s_1=-1, s_2=1$. Ainsi, $0\leq \sum x_i^2=s_1^2-2s_2=1-2=-1$, contradiction.
    Supposons que $a_0=a_1=a_2=1$. Alors, par la formule de Vieta, on trouve que $s_k=(-1)^k, s_{k-1}=(-1)^{k-1}, s_{k-2}=(-1)^{k-2}$. Par conséquent, $\sum \frac 1{x_i}=\frac{s_{k-1}}{s_k}=-1$ et $\sum \frac 1{x_ix_j}=\frac{s_{k-2}}{s_k}=1$. Ainsi, $0\leq \sum \frac 1{x_i^2}=\left(\sum \frac 1{x_i}\right)^2-2\sum \frac 1{x_ix_j}=1-2=-1$, contradiction.
    Nous avons trouvé qu'au moins un des $a_{k-1}$ et $a_{k-2}$ n'est pas égal à $1$ et qu'au moins un des $a_0, a_1$ et $a_2$ n'est pas égal à $1$. Puisque $k\ge 5$, on trouve qu'au moins $2$ des $k_i$ ne sont pas égaux à $1$, ce qui est une contradiction. Par conséquent, $k\leq 4$.
  • Modifié (November 2023)
    Oui, ça marche. Mais pourquoi alors soutenais-tu que $k=5$ était la valeur maximale ?
    À remarquer que l'utilisation de la règle de Descartes montre en fait qu'un polynôme à coefficients réels dont tous les coefficients, sauf peut-être un, sont égaux à 1 a au plus 4 racines réelles.
  • j'ai oublié de diviser
  • Diviser par quoi ???? Où divises-tu dans ce que tu as écrit plus haut ?
  • Modifié (November 2023)
    J'ai oublié de diviser dans la première solution que j'ai faite, puis elle a été complétée par cette solution.
  • Bonjour @GaBuZoMeu. Si l'on accepte le résultat de mon fil (un polynôme à coefficients réels ayant toutes ses racines réelles ne peut pas avoir 3 termes consécutifs égaux), la réponse à la question de ce fil est immédiate en une seule ligne, n'est-ce pas ?
    Le 😄 Farceur


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