Polynomiale — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Polynomiale

Modifié (November 2023) dans Algèbre
Soit $M$ un polynôme de degré $k$ à coefficients réels tel qu'au moins $k$ de ses coefficients coïncident et au plus un de ses coefficients est nul. Étant donné que toutes les $k$ racines de $M$ sont réelles les nombres trouvent la valeur maximale possible de $k$ .
«1

Réponses

  • Modifié (November 2023)
    Bonjour (ça ne fait pas de mal)
    Qu'as-tu essayé ?
    Comment faut-il lire ta deuxième phrase ? Est-ce
    "Étant donné que toutes les $k$ racines de $M$ sont réelles, trouver la valeur maximale possible de $k$" ?
  • Modifié (November 2023)
    Etant donné que toutes les racines k de M sont des nombres réels, trouver la valeur maximale possible de k.
    "Given that all k roots of M are real numbers find the maximal possible value of k."

    Je n'ai pas encore beaucoup essayé mais nous pouvons utiliser Vieta.
    [François Viète (1540-1603), en latin  Franciscus Vieta. AD] 
  • Essaie plutôt Descartes.
  • Pouvez-vous m'aider?
  • Je peux écrire une solution en utilisant Vieta, mais je ne pouvais pas écrire de solution en utilisant Descartes, j'ai demandé si vous pouviez m'aider.
  • "Je peux écrire une solution en utilisant Vieta."
    Très bien, fais-le.
  • Je suis curieux de connaître la solution avec Descartes.
  • J'attends que tu fasses un petit effort. Si tu as déjà une solution, écris-la. :)
  • Je suis à l'école en ce moment, je partagerai ma solution en rentrant à la maison. En attendant, si quelqu'un peut proposer une solution différente de Vieta, j'attends votre solution.
  • Ça pourra aussi attendre ton retour, n'est-ce pas ?
  • Modifié (November 2023)
    K = 5, n'est-ce pas ?
    Il y a un exemple donc pour 5
    Nous avons $f=x^k+\cdots+1+cx^i$, où $c\in \R$ et $0\le i<k$.
    Nous avons dit multiplions $k-1$ à partir d'ici.
    Je pense que la logique est bonne, faisons-le de cette façon.
    Toutes les racines de $M(x)$ sont réelles ou soit $Q(x)= (x-1) M(x)$.
    Alors toutes les racines de $Q(x)$ sont réelles.
  • C'est un bon début, mais à la fin je trouve que la plus grande valeur possible de $k$ est 4.
  • je pense que la réponse est 5
  • Démontre-le en donnant un exemple de polynôme de degré 5 remplissant les conditions.
  • Modifié (November 2023)
       $P(x)= 5x^5 + 5x^4 - 20x^3 + 5x^2 + 5x + 5$.
  • Ce polynôme n'a qu'une seule racine réelle
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • As-tu dessiné le graphe de la fonction ?
  • Oui (merci desmos)
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Ma question s'adressait à @TexasMain
  • Juste après mon message, ce n'était pas clair.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Dommage, tu aurais vu que ton polynôme n'a pas cinq racines réelles. Je reste toujours avec une valeur maximale de 4 pour $k$ (avec démonstration). La règle des signes de Descartes marche bien.
  • Puis-je voir votre solution pour 4 ?
  • Si les coefficients étaient égaux et qu’il y avait 1 vraie racine, je pense que la réponse serait 4.
  • Modifié (November 2023)
    Regarde la tête de ton polynôme $Q(x)=(x-1)M(x)$, et applique la règle des signes de Descartes pour majorer le nombre de racines réelles.
    "Si les coefficients étaient égaux et qu’il y avait 1 vraie racine, je pense que la réponse serait 4." : je ne comprends pas ce que tu veux dire. La réponse à la question est 4, c'est tout !
  • Pouvez-vous écrire votre solution pour 4 et l’expliquer ?
  • Je t'ai donné une piste valable. Pourquoi ne fais-tu aucun effort ?
  • Modifié (November 2023)
    Ma solution montre 5, je n'ai pas pu écrire pour 4.
  • Tu ne nous a pas montré ta solution. Au mieux, elle te dit que $k$ est majoré par 5.
    $M(x)=x^k+\cdots+x+1+cx^i$ où $c\in \R$ et $0\leq i<k$.
    $Q(x)=(x-1)M(x) = {?}$
    Allez, retrousse-toi les manches !
  • Divisons l'expression par k
    Différents coefficients disindski pour que le coefficient de tout soit 1
    Appelons cela t(x)
    Alors t(x)= x^(n+1) - x^n + a.x^(b+1) - a.x^b
    Regardons ici les polynômes t(x) et t(-x).
    Utilisons le théorème de changement de signe de Decaretes
    Je vais l'utiliser comme théorème des valeurs intermédiaires. Vous savez, si M(1) est négatif et M(2) est positif, il y a une racine entre 1 et 2 ?
    Je pense que la solution vient de là.
  • Ça ne va pas du tout, tu écris des choses au petit bonheur la chance.
  • dire la vérité
  • Tu ne sembles pas avoir compris ce que dit la règle des signes de Descartes.
  • Je ne pouvais pas le faire
  • Modifié (November 2023)
    Puisque je suis cité, je résume pour voir si j'ai compris le problème. Soit $M(x) = x^k + \cdots + x + 1 + cx^i$ avec $c \in \mathbb{R}$ et $0 \leq i < k$. @GaBuZoMeu affirme avec confiance et preuve à l'appui que si les racines de $M$ sont toutes réelles, alors:
    1. Nécessairement $k \leq 5$ .
    2. $k$ ne peut pas être égal à 5.
    3. Il a un exemple avec $k = 4$.
    Le 😄 Farceur


  • Correction : j'affirme que $k\leq 4$, et j'ai un exemple pour $k=4$. Ça revient au même à la fin, mais il vaut mieux raconter l'histoire telle qu'elle se déroule et pas autrement.
  • Modifié (November 2023)
    Je n'ai rien inventé, tu as bien dit Au mieux, elle te dit que k est majoré par 5 
    https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/comment/2452262/#Comment_2452262
    Je dois comprendre cette méthode de Descartes.
    Le 😄 Farceur


  • Mais tu as mal interprété. Ma remarque s'applique à la prétendue démonstration utilisant les relations de Viète, que @TexasMain ne nous ajamais présentée (même de façon succincte).
    La démonstration que je fais avec la règle de Descartes appliquée au polynôme $Q(x)=(x-1)M(x)$ donne bien directement $k\leq 4$.
  • Ok merci ( c'est pourquoi j'avais dit au début de mon message je résume si j'ai bien compris)
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (November 2023)
    Je pense que tu vois comment nous allons utiliser Vieta.
  • Modifié (November 2023)
    Rebonjour @GaBuZoMeu, je viens de regarder cette fameuse règle de Descartes. D'abord, nécessairement $c < 0$, car un polynôme à coefficients positifs ne peut pas avoir toutes ses racines réelles (Descartes).
    Le $i$ ne peut être que $i = k-1$ ou $i = k-2$ d'après Viète dans mon autre post. On voit bien alors que $M(x)$ change de signe deux fois, et donc $P$ admet au plus 2 racines réelles positives.
    Pour les racines négatives, soit $Q(x) = (x-1)M(x)$ et je considère le cas $i=k-1$, c'est-à-dire $M(x) = x^k + cx^{k-1} + x^{k-2} + \cdots + x + 1$. Un calcul donne ( correction coquille J'ai écrit M à la place de Q
    $$Q(x) = x^{k+1} + (c-1)x^k + (1-c)x^{k-1} - 1,$$ avec $c-1 < 0$ et $1-c > 0$.
    Pour $k$ pair, le signe de $Q(-x)$ est -  -  -  -, donc $Q$ admet 0 racines négatives.
    Pour $k$ impair, le signe de $Q(-x)$ est +  +   +  -, donc $Q$ admet 1 racine négative.
    On conclut de ces deux cas que $Q$ admet au plus 1 racine réelle négative, et puisque 1 est une racine positive de $Q$, on déduit que $M$ admet au plus une racine réelle négative. Si on fait le compte, $M$ admet au plus $2+1$ racines réelles, ce qui oblige à $k \leq 3$. :smiley:
    J'ai glissé grave !
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (November 2023)
    Je vois où j'ai glissé, j'ai oublié le cas $i=k-2$.
    Dans ce cas, $Q$ admet au plus 2 racines réelles négatives et donc en tout $M$ admet au plus 4 racines réelles, et donc comme l'a dit Gabu, $k \leq 4$ si on ne veut pas de racines complexes.
    Le 😄 Farceur


  • Rebonjour Gabu, Je ne vois pas comment tu as utilisé Viète ( en réponse à l'OP) pour montrer que $k\leq 5$. C'est à ton tour de montrer tes cartes :smiley:
    Le 😄 Farceur


  • Heu @gebrane, c'est à @TexasMain qu'il faut poser la question !
  • @GaBuZoMeu
    Est ce que ton raisonnement coïncide avec le mien avec Descartes ou bien tu as un raccourci
    @TexasMain dit
    Je pense que tu vois comment nous allons utiliser Vieta.

     Réponse : Non je ne vois pas de tout . Si tu as une preuve montre là !
    Le 😄 Farceur


  • comme d≥5. En exécutant la même logique..
    On dirait je lis un ChatGPT.
    Tu es convaincu par ta preuve ? c'est l'essentiel 
    Le 😄 Farceur


  • J'habite en Angleterre. J'utilise traduire parce que je ne connais pas le français.

Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!