Convergence de la fonction quantile

Ch4rstz

Si j'ai une suite de variable aléatoire réelle $(Z_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ qui converge en loi vers une variable aléatoire (dans le cas que j'étudie c'est une convergence en loi vers la loi normale centrée réduite).
Est-ce que si je fixe $\alpha \in \,]0 , 1[$ j'ai convergence de $(G_{Z_{n}}(\alpha))_{n \in \mathbb{N}}$ vers $G(\alpha)$, où $G_{X}$ désigne la fonction quantile $(=\inf\{x \in \mathbb{R}\mid  F_{X} \geq q\})$ de la variable aléatoire $X$ et où $G$ sans rien est la fonction quantile de la fonction normale centrée réduite dans mon cas ou de la loi limite dans le cadre plus général. 

Calli

Bonjour,
Soient $\alpha \in {]0,1[}$ et $\varepsilon >0$. Dans le cas de la loi normale, $F$ (la fonction de répartition) est continue,  donc d'après le théorème porte-manteau $$F_{Z_{n}} (G(\alpha )+\varepsilon ) \underset{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow} F(G(\alpha )+\varepsilon ).$$ De plus, $F$ est strictement croissante et $F\circ G=\mathrm{id}$, donc $F(G(\alpha )+\varepsilon ) >F(G(\alpha ))=\alpha$. D'où $F_{Z_{n}} (G(\alpha )+\varepsilon )>\alpha $ à partir d'un certain rang, ce qui implique $G(\alpha )+\varepsilon  \geqslant  G_{Z_n} (\alpha )$. De même, on peut montrer que $G(\alpha )-\varepsilon\leqslant G_{Z_n}(\alpha ) $ à partir d'un certain rang (si je n'ai pas fait d'erreur). D'où $G_{Z_{n}} (\alpha ) \underset{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow} G(\alpha )$.

Ch4rstz

Merci de ta réponse, malheureusement je ne connais pas le théorème porte-manteau. J'ai regardé sur wikipedia laquelle des caractérisations utilises-tu ?

Ch4rstz

Ah oui pardon c'est juste la caractérisation de la convergence en loi par les fonctions de répartition au point $G(\alpha) + \epsilon$