Cercle orthogonal à deux cercles de Mention

gipsyc
Modifié (November 2023) dans Géométrie
Bonjour
Je propose ci-dessous la généralisation par Starick Yakoff d'un problème que j'avais soumis sur RG13646
(mon problème : dans un triangle, le cercle A-mixtilinéaire est orthogonal aux deux cercles de Mention opposés).

Soient
- un triangle ABC quelconque
- son centre inscrit I
- les cercles de B-Mention (AIC) et de C-Mention (AIB) de centre resp. Ib et Ic
- son cercle circonscrit (ABC)
- un point K quelconque sur ce cercle, sur l'arc BC opposé à A
- KIb ∩ AC = E
- KIc ∩ AB = F
- le cercle (KEF)

Montrez que
- le centre de ce cercle (KEF) est sur la A-bissectrice AI
- ce cercle (KEF) est orthogonal aux deux cercles de Mention.

Note
Le cas particulier que j'avais publié 

Cordialement,
Jean-Pol Coulon 

Réponses

  • Bonjour,

    Avec Morley inscrit;
    % Gipsyc - 11 Novembre 2023 - Cercle orthogonal à deux cercles de Mention.
    
    % Soient
    % - un triangle ABC quelconque
    % - son centre inscrit I
    % - les cercles de B-Mention (AIC) et de C-Mention (AIB) de centre resp. Ib et Ic
    % - son cercle circonscrit (ABC)
    % - un point K quelconque sur ce cercle, sur l'arc BC opposé à A
    % - E le point d'intersection des droites (KIb) et (AC)
    % - F le point d'intersection des droites (KIc) et (AB)
    % - le cercle (KEF)
    
    % Montrez que
    % - le centre de ce cercle (KEF) est sur la A-bissectrice AI
    % - ce cercle (KEF) est orthogonal aux deux cercles de Mention.
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    clc, clear all, close all
    
    % On part du triangle de contact UVW du cercle nscrit
    
    syms u v w
    
    uB=1/u; % Morley's trick avec le cercle inscrit
    vB=1/v; % Le suffixe B veut dire conjugué
    wB=1/w;
    
    s1=u+v+w;         % Fonctions symétriques
    s2=u*v+v*w+w*u;
    s3=u*v*w;
    
    s1B=s2/s3;         % Conjugués
    s2B=s1/s3;
    s3B=1/s3;
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    a=2*v*w/(v+w); % Sommets ABC du triangle 
    b=2*w*u/(w+u); 
    c=2*u*v/(u+v);
    
    aB=2*vB*wB/(vB+wB); % Conjugués de a,b,c
    bB=2*wB*uB/(wB+uB);
    cB=2*uB*vB/(uB+vB);
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    syms t
    
    [ib ibB Rb2]=CercleTroisPoints(a,0,c,aB,0,cB); % Cercle AIC
    % On trouve ib=2*s3/((u+v)*(v+w)) et Rb2=4*s3*v/((u+v)^2*(v+w)^2)
    [ic icB Rc2]=CercleTroisPoints(a,0,b,aB,0,bB); % Cercle AIB
    % On trouve ic=2*s3/((u+w)*(v+w)) et Rc2=4*s3*w/((u+w)^2*(v+w)^2)
    
    tB=1/t; % Un vecteur unitaire
    o=2*s1*s3/(s1*s2-s3); oB=2*s1B*s3B/(s1B*s2B-s3B); R=2/(1-s1*s1B);
    k=o+R*t; kB=oB+R*tB; % Un point K du cercle circonscrit
    
    [pkib qkib rkib]=DroiteDeuxPoints(k,ib,kB,ibB); % Droite (KIb)
    [pkic qkic rkic]=DroiteDeuxPoints(k,ic,kB,icB); % Droite (KIc)
    [e eB]=IntersectionDeuxDroites(pkib,qkib,rkib,1,v^2,-2*v); % Point E
    % On trouve e=2*v*(s2*t-s3)/((u+v)*(v+w)*(t-v))
    [f fB]=IntersectionDeuxDroites(pkic,qkic,rkic,1,w^2,-2*w); % Point F
    % On trouve f=2*w*(s2*t-s3)/((u+w)*(v+w)*(t-w))
    
    [j jB r2]=CercleTroisPoints(k,e,f,kB,eB,fB); % Cercle KEF
    % On trouve j=2*v*w*(s2*t-s3)*(t-s1)/((u+v)*(v+w)*(w+u)*(t-v)*(t-w)) et
    % r2=4*v*w*(t*u+v*w)^2*(s2*t-s3)*(s1-t)/((u+v)^2*(v+w)^2*(w+u)^2*(t-v)^2*(t-w)^2)
    
    Nul1=Factor(j*aB-jB*a) % Nul1=0 donc J est sur la bissectrice (AI)
    
    Db2=Factor((j-ib)*(jB-ibB)); % JIb^2
    Dc2=Factor((j-ic)*(jB-icB)); % JIc^2
    
    % un coup de Pythagore:
    Nul2=Factor(r2+Rb2-Db2) % Nul2=0 donc KEF est orthogonal à AIC
    Nul3=Factor(r2+Rc2-Dc2) % Nul3=0 donc KEF est orthogonal à AIB
    Cordialement,
    Rescassol

  • gipsyc
    Modifié (November 2023)
    Bonjour
    En bonus purement synthétique proposé par Starick Yakoff,
    montrez que les points F, I et E sont colinéaires.

    Jean-Pol Coulon 
  • Bonjour,
    pour le précédent résultat, (EIF) est une pascalienne....

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Rescassol
    Modifié (November 2023)
    Bonjour,

    Il suffit de rajouter:
    NulFIE=Factor(e*fB-f*eB) % 0 donc F, I, E sont alignés
    Cordialement,
    Rescassol

    Edit: Accessoirement, la droite $(EF)$ a pour équation $(s_1-t)z+(s_2t-s_3)\overline{z}=0$.
  • Jean-Louis Ayme
    Modifié (November 2023)
    Bonjour,
    (AEK) est orthogonal à (Ib) ; en conséquence, (FEK) est orthogonal à (Ib).
    Mutatis mutandis, (EFK ) est orthogonal à (Ic)
    and we are done...

    Il reste à montrer que (AI) passe par le centre de (EFK).
    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Bonjour JL Ayme,

    Merci pour la pascalienne ... la réponse attendue.

     Jean-Pol Coulon 
  • gipsyc
    Modifié (November 2023)
    Bonjour JL Ayme
    La ligne AI passe par le centre du cercle (KFE) car AI est l'axe radical des deux cercles (de Mention) auxquels (KFE) est orthogonal (réciproque d'un lemme de Gaultier).
    Je n'ai par contre pas compris pourquoi le cercle (AEK) était orthogonal au cercle (Ib) ...  (je pense à la division harmonique en E et K d'un diamètre par KIb du cercle (Ib) par le cercle (AEK) et donc le cercle (FEK) ... comment le prouver ?)

    Cordialement,
    Jean-Pol Coulon 
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