Théorème de Baire

SandwichFromage

Bonjour
Soit $(U_n)_{n\in\mathbb N} $ un suite d'ouverts denses. 
Alors $\displaystyle \bigcap_{n=0}^\infty U_n $ est dense. 
Cet énoncé a-t-il déjà été donné en guise d'exercice d'oral à l'ENS (oral ULSR par exemple) ? 
Je demande pour estimer la faisabilité de l'exercice sans aide extérieure.

LoanSupOp

Oui c'est très classique. Je me rappelle l'avoir travaillé en TD et chez moi, dans une annexe du Gourdon. Je suis presque sûr de l'avoir déjà croisé dans un Cassini.

SandwichFromage

C'est classique sans doute, je me demandais s'il avait déjà été donné

SandwichFromage

En tout cas, si c'est dans un cassini, c'est le bon niveau de difficulté~

LoanSupOp

Donné, donné, et redonné au point qu'ils ne le donnent plus trop je pense (~ tous les admissibles savent le faire, même machinalement)

SandwichFromage

J'ai trouvé


(Analyse III)
merci

JLapin

Il me semble que le cas d'une intersection finie d'ouverts dense est déjà intéressant pour une personne normale qui n'a jamais bachoté un Cassini. Sinon, à mon avis, il n'est plus trop donné à l'oral surtout car la complétude a disparu des programmes depuis plus de 10 ans me semble-t-il.

SandwichFromage

Oui, j'avais remarqué qu'ils ne le donnaient jamais à l'oral, sûrement car trop classique
Et justement ça rejoint le fait qu'il soit dans le cassini : ils ne mettent jamais d'exercices du cassini

LoanSupOp

@SandwichFromage 2 de mes potes ont eu un exercice du Cassini en oral ... 

SandwichFromage

cool

Démonstrator

Contrairement à une idée reçue les sujets d'oraux aiment rarement le hors-programme tant dans les énoncés que dans les propositions de résolution. Pour Saclay pourtant j'ai eu de la théorie des représentations, c'est l'exception : pour le reste, la difficulté est dans la technicité. Je n'ai pas dit : 
-> qu'il faut se détourner du hors-programme. Comme précisé il y a des exceptions et c'est l'étude d'approfondissements qui permet d'acquérir aussi de la technicité
-> que ça ne sert à rien en théorie. Souvent une idée de résolution vient avec le recul donné par le HP.

Le Cassini même très dur est bel et bien un très bon outil de préparation des oraux. En plus il permet d'approfondir.

Tout ça pour dire que cet exo en particulier n'est pas dans "l'esprit des oraux". Ou alors en résultat à utiliser pendant l'oral (c'est plus probable que le HP se manifeste comme ça que bruyamment dans l'énoncé !)

Poirot

Pour avoir déjà fait passer des oraux d'ENS, je vais seulement ajouter qu'il arrive quelques fois que l'on interroge sur des choses techniquement hors-programme, mais le jury en est conscient et guide autant que nécessaire le candidat en cas de difficulté, et que sécher sur du hors-programme n'a rien de rédhibitoire pour ce type d'oraux.

jm14d

Salut, je viens de lire (dans un bouquin très sympa de Paul HALMOS) un exercice visant à démontrer que "le plan ne peut pas être recouvert par un ensemble dénombrable de droites". J'ai l'impression que c'est une application directe du théorème de Baire : une droite étant un fermé d'intérieur vide, une réunion dénombrable de droites est également d'intérieur vide, donc ne peut être égale au plan. Est-ce correct ?

JLapin

Oui. Tu peux ajouter que le plan est complet car de dimension finie.

gai requin

Et c’est très important, comme on peut le voir en remplaçant $\mathbb R^2$ par $\mathbb Q^2$.

jm14d

Merci à vous deux !

Héhéhé

Pour le hors programme, c'est bien gentil de dire : on en tient compte dans l'évaluation. C'est quand même plus facile de s'en sortir si on l'a déjà vu avant. L'utilisation très répandue du hors programme aux ENS (et dans une moindre mesure à l'X) favorise de fait les très grosses prépas notamment parisiennes.