Sous-groupes isomorphes

JRManda

Bonjour,

Soit $q \geqslant 3$ un entier naturel impair. On considère les anneaux $\left(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}, +, \times \right)$ et $\left(\mathbb{Z}/2q\mathbb{Z}, +, \times \right)$, et leurs groupes respectifs d'éléments inversibles pour la multiplication qui sont $\left(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}\right)^{\times}$ et $\left(\mathbb{Z}/2q\mathbb{Z}\right)^{\times}$. On établit que le groupe $\left(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}\right)^{\times}$ est isomorphe au groupe $\left(\mathbb{Z}/2q\mathbb{Z}\right)^{\times}$. Aussi, comme $2\land q=1$, alors on en déduit que $2\in \left(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}\right)^{\times}$. Notons $<2>=G_{q}(2)$, le sous-groupe multiplicatif de $\left(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}\right)^{\times}$ engendré par $2$.

Il s’agit ici d'abord, de prouver que le sous-groupe $G_{q}(2)$ est isomorphe à un sous-groupe $S_{2q}$ de $\left(\mathbb{Z}/2q\mathbb{Z}\right)^{\times}$ d'ordre $a_{0}$ à déterminer ; Et ensuite de donner l’expression en fonction du paramètre $q$, d’un élément $s_{1}$ générateur du sous-groupe $S_{2q}$.

Poirot

Où bloques-tu ? Avec ce que tu as rappelé au début, il est très facile de répondre à ces questions.