Nombre premier

Sachaben

On me demande si 1+ 1000^8 est premier. Il faut que je raisonne par l’absurde ou je me mets dans un Z/nZ pertinent? 

Merci pour tout indice 

lourrran

Option 1 : ce nombre est premier, et comment va-t-on bien pouvoir faire pour le justifier ?
Option 2 : ce nombre est composé, et il va falloir trouver un diviseur pour le justifier.
Connaîs-tu des astuces pour tester si un nombre est multiple de tel ou tel petit nombre ?

Math Coss

$\Z/17\Z$ est pertinent.

JRManda

Bonjour
 En effet $1+1000^{8}=1+\left(10^{3}\right)^{8}=1+10^{24}=1+\left(10^{8}\right)^{3}=\left(1+10^{8}\right)\times \left(1-10^{8}+\left(10^{8}\right)^{2}\right)$.
Et on en déduit que $1+1000^{8}$ est divisible par $1+10^{8}=100\hspace{3pt}000001$. Par conséquent $1+1000^{8}$ n’est pas un nombre premier.

Chaurien

Si $a$ et $m$ sont des entiers, $a \ge 2$, $m \ge 1$, si $a^m+1$ est un nombre premier, alors $a$ est pair et $m$ est une puissance de $2$. 

Mais pas de réciproque.

Fermat conjecturait que tous les nombres $2^{2^n}+1$ sont premiers :

« Mais voici ce que j'admire le plus : c'est que je suis persuadé que tous les nombres progressifs augmentés de l'unité, desquels les exposants sont des nombres de la progression double, sont nombres premiers, comme $3$, $5$, $17$, $257$, $65~537$, $4~294~967~297$ ».

Fermat, Lettre à Frenicle, août 1640, Œuvres, Tome deuxième, M DCCC XCIV, p. 206.

Déjà le dernier nombre cité par Fermat n'est pas premier, c'est $641 \times 6~700~417$, comme Euler l'a remarqué en 1732.

Sachaben

Je n’avais pas pensé à la somme de 2 cubes. Bien vu JRManda.  Et merci aussi Chaurien pour les explications . Je vais regarder Z/17Z.
bonne soirée 

kolotoko

Bonjour,

le nombre proposé se factorise en un produit de trois nombres premiers :

1 000 000 000 000 000 000 000 001 = 17 x 5 882 353 x 9 999 999 900 000 001

Bien cordialement.

kolotoko

Sachaben

Bonjour. Merci Lolotoko. Si on connaît le groupe quotient, c’est plus facile mais comment le trouver facilement, par quel raisonnement. Essayer de s’approcher le plus de 1 ou -1 par congruence?
100 congru à -2 dans Z/17Z car 6*17=102
donc 10^4 congru à 4
10^8 congru à 16 donc -1
10^24 congru à (-1)^3=-1
donc 1+10^24 congru à 0, cqfd.
Mais il fallait penser à Z/17Z
cordialement