Compacté d'ensembles ?

SandwichFromage

Bonjour
Soit $A \subset \mathcal P(\mathbf R^2) $
Existe-t-il, quelque part où que ce soit, dans la littérature, une manière de donner un sens à l'expression 
« $A$ est compacte » ?

Si $ A \subset \mathbf R^2 $, bien sûr que oui. Mais si $A$ contient des parties de $\mathbf R^2$...? 

Je demande car dans un article sur le problème du canapé, un certain Gerver écrit :



Il s'agit de trouver des "régions", donc des parties de $\mathbf R^2$ (qui représentent un canapé que l'on voudrait faire passer dans un couloir qui présente un angle (corner) droit), d'aire maximale.
Ici, "the set of all regions (that can move around the corner)" semble désigner l'ensemble des régions (fermées) qui peuvent passer dans le couloir en angle droit. Mais il dit définir un sous-ensemble compact de l'ensemble des régions qui marchent. Je ne comprends pas ce qu'il entend par "compact" ici. 

En fait j'imagine suppose qu'il faut une structure d'espace métrique sur l'ensemble des parties de $\mathbf R$. 
Existe-t-il une façon (un tant soit peu naturelle) de faire ceci ? Qui, si possible, coïncide avec ce que l'auteur veut dire ?
Plus généralement, j'ai du mal à voir dans quels domaines de la littérature ceci s'inscrit, c'est à dire que je vois vraiment mal dans quel genre de bouquin ça peut se trouver. Théorie de la mesure ? Topologie ? Géométrie ? 

L'article est en pièce jointe si besoin.
Merci d'avance pour vos éclairements.

raoul.S

Peut-être il considère la distance de Hausdorff sur l'ensemble des compacts de $\R^2$ (qui fait de ce dernier un espace métrique complet). 

SandwichFromage

Pas mal
Ce serait pas un peu surprenant qu'il ne le reprécise pas ? 
Ce serait pas de trop (à moins que ce soit suffisemment "usuel"...)

raoul.S

J'ai dit ça sans aucune garantie. C'est l'unique distance que j'ai un peu étudiée sur les compacts de $\R^n$. Effectivement c'est bizarre qu'il ne précise pas...

Néanmoins en cherchant Hausdorff distance et sofa problem avec google on tombe sur cet article qui contient les deux expressions. Donc il y a une possibilité.

GaBuZoMeu

Bonsoir,

Il s'agirait plus précisément de la distance de Gromov-Hausdorff.

SandwichFromage

Bonjour GaBuZoMeu,
Pourquoi celle-ci en particulier ?
J'ai du mal à situer tout ceci dans le paysage mathématiques actuel. Quel genre de livre contiendrait le domaine expertise de l'auteur ?

Barjovrille

Bonjour, 
L'énoncé du problème est marrant .  @SandwichFromage dans le papier que tu as partagé on trouve la phrase suivante : 
"We now prove that  $\tau$ is compact under the topology induced by the greater of the supnorms of p and q."
Je pense que ça peut t'aider dans ton questionnement.
(Vers la fin de la page 4).

GaBuZoMeu

Tout simplement : la distance de deux compacts du plan est nulle si et seulement s'ils sont égaux, tandis que la distance de Gromov-Hausdorff est nulle si et seulement s'ils sont superposables par une isométrie du plan. C'est donc une distance sur l'ensemble des classes d'isométrie. Il est clair qu'ici le problème de trouver une région d'aire maximale qui passe le coin est à déplacement près.

SandwichFromage

Merci @GaBuZoMeu pour ta réponse.
Quelle partie des mathématiques faut-il approfondir pour toucher à tout ça ? Des livres sur quels sujets ?

Etienne91

@GaBuZoMeu la distance de deux compacts du plan n'est-elle pas nulle si et seulement si ces deux compacts ont un point en commun ?

SandwichFromage

@Etienne91 c'est vrai pour la distance "usuelle/classique", mais ici il parlait de la distance de Hausdorff je pense

Etienne91

Ah oui d’accord merci beaucoup @SandwichFromage !