Calcul d'une limite

Besma bissan

Salut
Soit $S(t)_{t\geq 0}$ un semi-groupe intégré sur $E$ espace vectoriel.  $ 0\leq\alpha\leq 1$, $ x\in E$.
Je n'ai pas pu calculer cette limite, mais je m'attends à ce qu'elle soit égale à zéro
$$  \lim_{\epsilon \rightarrow 0^+}\dfrac{S(\epsilon)(x)}{\epsilon^{\alpha}} $$
Est-ce que cette limite existe ? 

gebrane

Ton semi-groupe vérifie $\lim_{\epsilon \rightarrow 0^+}S(\epsilon)(x)=x$

Besma bissan

@gebrane non, ce n'est pas un semi groupe ordinaire, c'est un semi groupe intégré ($S(0)=0$)

$ \lim_{\epsilon \rightarrow 0^+}S(\epsilon)(x)=0 .$

gebrane

C'est quoi la définition selon toi de tel semi-groupe intégré 

Besma bissan

gebrane

Pour un semi-groupe intégré S(t), le S'(t) est un C_0 semi-groupe
Si tu utilises une sorte de (règle de L'Hôpital)
$\lim_{\epsilon \rightarrow 0^+}\dfrac{S'(\epsilon)(x)}{(\epsilon^{\alpha})'}=\lim_{\epsilon \rightarrow 0^+}S'(\epsilon)(x)\frac{\epsilon^{1-\alpha}}{\alpha}=x\times 0=0$.

Besma bissan

@gebrane cette limite est dans $E$ ( espace vectoriel), donc la limite est prouvé en utilisant la norme de $E$. C'est la définition 

bd2017

@gebrane accroche-toi.

gebrane

Bonjour bd2017, je te cède ma place ici volontiers.

 J'ai compris de son dernier message qu'elle a compris et a prouvé ce qu'elle veut démontrer, c'est l'essentiel pour moi, même si au fond de moi je sens qu'elle n'a pas tout compris (par exemple, pour $\alpha=1$, la limite n'est pas nulle). De plus, je ne suis pas certain de comment elle utilise la norme pour prouver que la limite est nulle pour $\alpha\in [0,1[$.

Besma bissan

@gebrane
Au contraire, je n'ai pas pu calculer la limite, même si je crois en moi qu'elle est nulle, comme tu l'as déjà dit, mais la méthode pour prouver cette hypothèse reste ambiguë, je crois que nous avons utilisé la définition de la limite dans un espace vectoriel, c'est-à-dire en utilisant la norme.

gebrane

Tu ne sais pas définir la limite en 0 d'une fonction $f : \R^+\to E$ ? Et je rappelle que tu as dit donc la limite est prouvé en utilisant la norme de E.
Je te fais confiance et bon courage