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Calcul d'une limite

Modifié (November 2023) dans Analyse
Salut
Soit $S(t)_{t\geq 0}$ un semi-groupe intégré sur $E$ espace vectoriel.  $ 0\leq\alpha\leq 1$, $ x\in E$.
Je n'ai pas pu calculer cette limite, mais je m'attends à ce qu'elle soit égale à zéro
$$  \lim_{\epsilon \rightarrow 0^+}\dfrac{S(\epsilon)(x)}{\epsilon^{\alpha}} $$
Est-ce que cette limite exist
Mots clés:

Réponses

  • Ton semi-groupe vérifie $\lim_{\epsilon \rightarrow 0^+}S(\epsilon)(x)=x$
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (November 2023)
    @gebrane non, ce n'est pas un semi groupe ordinaire, c'est un semi groupe intégré ($S(0)=0$)
    $ \lim_{\epsilon \rightarrow 0^+}S(\epsilon)(x)=0 .$
  • C'est quoi la définition selon toi de tel semi-groupe intégré 
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (November 2023)

  • Modifié (November 2023)
    Pour un semi-groupe intégré S(t), le S'(t) est un C_0 semi-groupe
    Si tu utilises une sorte de (règle de L'Hôpital)
    $\lim_{\epsilon \rightarrow 0^+}\dfrac{S'(\epsilon)(x)}{(\epsilon^{\alpha})'}=\lim_{\epsilon \rightarrow 0^+}S'(\epsilon)(x)\frac{\epsilon^{1-\alpha}}{\alpha}=x\times 0=0$.
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (November 2023)
    @gebrane cette limite est dans $E$ ( espace vectoriel), donc la limite est prouvé en utilisant la norme de $E$. C'est la définition 
  • @gebrane accroche-toi.
     
  • Bonjour bd2017, je te cède ma place ici volontiers.

     J'ai compris de son dernier message qu'elle a compris et a prouvé ce qu'elle veut démontrer, c'est l'essentiel pour moi, même si au fond de moi je sens qu'elle n'a pas tout compris (par exemple, pour $\alpha=1$, la limite n'est pas nulle). De plus, je ne suis pas certain de comment elle utilise la norme pour prouver que la limite est nulle pour $\alpha\in [0,1[$.
    Le 😄 Farceur


  • @gebrane
    Au contraire, je n'ai pas pu calculer la limite, même si je crois en moi qu'elle est nulle, comme tu l'as déjà dit, mais la méthode pour prouver cette hypothèse reste ambiguë, je crois que nous avons utilisé la définition de la limite dans un espace vectoriel, c'est-à-dire en utilisant la norme.
  • Modifié (November 2023)
    Tu ne sais pas définir la limite en 0 d'une fonction $f : \R^+\to E$ ? Et je rappelle que tu as dit donc la limite est prouvé en utilisant la norme de E.
    Je te fais confiance et bon courage
    Le 😄 Farceur


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