‘Approximation’ efficiente (?) ou non, dans la table de vérité de l’implication logique

sergequark

Bonjour
Soit A et B deux fonctions booléennes, pouvant prendre respectivement deux valeurs '1 '(vrai) et '0' (faux).

L'interprétation du 'si et seulement si' A <-> B, peut être représentée à l'aide de l'opérateur 'ET' et des implications A->B , B->A comme : A <-> B ~ [(A->B) ET (B->A)]

Sans passer par la théorie des prédicats ou autres théories annexes, pourquoi ne trouve-t-on pas l'UNIQUE forme donnée classiquement, par la table de vérité de A->B comme 1->1:1, 1->0:0, 0->1:1, 0->0:1 ?

Si l'on va contre l' 'a priori' logique classique avec 0->0:0 (au lieu de 1), la table de vérité du A <-> B ~ [(A->B) ET (B->A)], reste respectée !?

Merci pour votre réponse.

GaBuZoMeu

Bonjour,

Ce n'est pas un a priori d'avoir $(0\to 0)=1$.

Et si tu poses $(0\to 0)=0$ alors tu auras $(0\leftrightarrow 0) = ((0\to 0)\wedge(0\to 0)) =0$.

sergequark

Merci beaucoup 

GaBuZoMeu

sergequark

Merci GaBuZoMeu,

cependant, j’ai du mal à bien comprendre pourquoi (0 <-> 0) = 1 et pourquoi pas 0, comme souvent en Mathématiques appliques. 

J’ai bien conscience qu’il ne s’agit là que d’un système FORMEL mais aimerais savoir de quelle théorie, peut être forgé a postériori, sont issues ces ‘tables de vérité’ et dans quel but, autre que d’un vocabulaire et d’une grammaire propre aux portes logiques informatiques ?

Médiat_Suprème

Réfléchissez à la signification du mot équivalence

GaBuZoMeu

" pourquoi (0 <-> 0) = 1 et pourquoi pas 0, comme souvent en Mathématiques appliques "

Exemple ?

Foys

En maths "et" ($\wedge$) et "non" ($\neg$) on le même sens que dans la langue courante. Classiquement, si $A$ et $B$ sont des énoncés, ("$A \Rightarrow B$" i.e. "$A$ implique $B$" peut-être vu comme une abréviation de $\neg (A \wedge \neg B )$).

Math Coss

Même sens ? Que dire de « ce manteau est rouge et bleu » ? [Il est vrai que là, le « et » ne connecte pas des phrase mais des adjectifs.]

Foys

@Math Coss il faut comparer avec les autres choix de connecteurs: "ou" est spécial (il est très souvent exclusif dans la langue courante) quant à "implique" il est notoirement incompréhensible ... C'est encore la paire (et, non) qui demande le moins de remédiation pour le public.

Martial

Je suis d'accord avec @Foys. D'ailleurs "tout le monde sait bien" que le calcul propositionnel peut être écrit avec les seuls symboles $\neg$ et $\land$, et le calcul des prédicats du premier ordre avec $\neg$, $\land$ et $\exists$.

Médiat_Suprème

Ou seulement avec $|$ et $|, \exists$ 

Martial

@Médiat_Suprème  : exact.

Foys

Ou seulement avec "nextand"!! (c'est bon je sors) ...

Médiat_Suprème

@sergequark : Ce n'est pas approprié de poser des questions privées à propos d'un fil public.

sergequark

D’où viens l’acception (A->B)  ~  ¬(A∧¬B) qui effectivement, conduit a (0->0) = 1 et donc (0<->0) = 1 ?

L’exemple est qu’en effet, dans un raisonnement ‘non formalisé’, plusieurs erreurs peuvent amener à un résultat exact [(0<->0) = 0], sans explicitement se compenser à la manière d’une négation de la négation !

Cyrano

L'acception la plus courante est $(A \Rightarrow B ) \sim \neg A \vee B.$ (Qui par les lois de Morgan est équivalent à $\neg (A \wedge \neg B ).$)

Comme le disait souvent christophe, dans la logique de tous les jours on a bien "Si tu avances, je tire" qui est identique à "N'avance pas ou je tire".

sergequark

Merci,

cela dit peut-on 'comprendre' (d'une maniere ou d'une autre) pourquoi dans un raisonnement ‘non formalisé’, plusieurs erreurs peuvent amener à un résultat exact [(0<->0) = 0], sans explicitement se compenser à la manière d’une négation de la négation !

Foys

9+11 = 403752

403752 + 13 = 33

Donc 9+11+13 = 33.
@sergequark, j'ai fait deux erreurs mais à la fin je suis quand même tombé sur le bon résultat.

sergequark

Merci Foys, mais c’est peut-être abusif et de ne répond pas, me semble-t-il, à la question !

sergequark

De manière naïve, lorsqu’on prend plusieurs hypothèses fausses (sans compensation de 2 erreurs de type Non Non À = A) , on arrive parfois un résultat vrai !…

Je sais bien qu’il faudrait être plus rigoureux et passer par un codage type Godel mais en amont, d’où viennent ces table de vérité ? (axiome des mathématiques ?) et leurs applications, n’est-elle qu’en informatique théorique et qu’en électronique ?

Foys

@sergequark je crois qe tu te fais des films pour rien. Les maths sont faites de systèmes et si on applique leur règles on a la garantie de ce que promettent (peuvent promettre) de tels systèmes. En revanche lorsqu'on commet des erreurs (qu'on n'applique pas les règles du système en question) on n'a plus de garantie de rien, au point où on n'a même pas de garantie de ne pas écrire un énoncé vrai. C'est l'objet de mon exemple caricatural.

sergequark

Oui Foys, j’avais bien compris l’aspect caricatural de ta réponse et en devinais le sens.

Cependant, je suis curieux de savoir comment les ‘logiciens’ en sont arrivés à cette forme aboutie des ‘tables de vérité’, en quoi cette activité se détache de l’épistémologie pour savoir par exemple ce qu’est une ‘vérité mathématique’ et les règles de la logique, autres que des résultats d’expérience (1+1=2), partageable avec mes semblables (tables de vérité) ?

Quand j’y réfléchis, je retombe immanquablement y compris avec ce que j’ai eu le temps de comprendre du théorème de Godel, sur des paradoxes type du menteur qu’il dit qu’il ment (problème des ensembles ‘naifs’)….

Quand je parle de cela, les gens me renvoient systématiquement à de volumineux livres de philosophie souvent abscons et peu accessibles à des non spécialistes. J’aimerais m’en faire une idée, un aphorisme et savoir ce qu’en disent les mathématiques, en dehors de sujets,règles de logique et tables de vérité déjà évoqués et de l’informatique théorique (Church, Turing) !?

Cyrano

"Cependant, je suis curieux de savoir comment les ‘logiciens’ en sont arrivés à cette forme aboutie des ‘tables de vérité’"

Ils ont simplement mis sur le papier la logique "intuitive" qu'ils utilisent depuis qu'ils sont tout petits. (Quant à savoir si ces règles de logique existent indépendamment de nous, voir la discussion concernant le platonisme qu'on a eu récemment sur ce forum. )

GaBuZoMeu

Notons $v(p)$ la valeur de vérité d'une proposition $p$. Alors : 

 $v(p\text{ et }q)=\inf (v(p),v(q))$, autrement dit $v(r)\leq v(p\text{ et }q)$ si et seulement si $v(r)\leq v(p)$ et $v(r)\leq v(q)$. 

$v(p\to q)$ est la plus grande valeur de vérité $w$ telle que $\inf(w,v(p))\leq v(q)$, autrement dit $v(r)\leq v(p\to q)$ si et seulement si $v(r\text{ et }p)\leq v(q)$.

Soit $0$ la plus petite valeur de vérité, $1$ la plus grande. Démontrer que si $v(p)=0$ et $v(q)=0$, alors $v(p\to q)=1$.

sergequark

Merci

sergequark

Merci, jolie démonstration !