Recherche d'une démonstration analytique

jean lismonde

Bonjour 
On considère la suite $(u)$ (avec $n = 1, 2 \dots$) définie par une succession de radicaux imbriqués :
$$u_n = \sqrt{2-\frac12\sqrt{2-\frac14\sqrt{2-\frac18\sqrt{\cdots-\frac1{2^{n-1}}\sqrt{2-\frac1{2^n}}}}}}$$
les premiers termes nous indiquent une convergence alternée rapide vers une limite $L = 1{,}164213562...$ (10 chiffres sûrs)
Première question : comment prouver analytiquement la convergence implosive ?

On considère maintenant la suite $(v)$ (avec $n = 1, 2, \dots$) constituée aussi d'une succession de radicaux imbriqués :
$$v_n = \sqrt{2+\frac12\sqrt{2+\frac14\sqrt{2+\frac18\sqrt{2+\cdots+\frac1{2^{n-1}}\sqrt{2+\frac1{2^n}}}}}}$$
$ %v_n = \sqrt{{{{{2+\frac{1}{2}\sqrt{{{{2+\frac{1}{4}\sqrt{{{2+\frac{1}{8}\sqrt{{2+...\frac{1}{2^{n-1}}\sqrt{2-\frac{1}{2^n}}}}}}
%u_n = \sqrt{{{{{2 - \frac{1}{2}\sqrt{{{{2- \frac{1}{4}\sqrt{{{2- \frac{1}{8}\sqrt{{2-....\frac{1}{2^{n-1}}\sqrt{2-\frac{1}{2^n}}}}}}
$
la suite $(v)$ est monotone croissante et bornée supérieurement par $2$, et converge rapidement et directement à gauche vers une limite $M$ comprise entre $1$ et $2$,
en fait $M = 1{,}664213562\dots$ (10 chiffres sûrs).

Empiriquement nous constatons que $M - L = \frac{1}{2}$ et aussi que $M + L = 2\sqrt{2}$.
La convergence implosive rapide des deux expressions nous incitent à penser que ces conjectures sont bonnes

Seconde question : quelqu'un a-t-il l'idée d'une preuve analytique de ces liens entre $L$ et $M$ ?
Cordialement.
[Jean, ai-je bien traduit les expressions de $u_n$ et $v_n$ ? AD]
[Corrigé selon ton indication. AD]

GaBuZoMeu

Bonsoir,

Définition de "convergence implosive " ?

jean lismonde

Bonjour

Merci Alain;
simplement 1 petite erreur : dans $v_n$ le dernier radical comporte un signe + et non pas -

pour Gabu : une convergence implosive comme son nom l'indique
est la convergence d'une suite alternée autour de sa limite
avec des termes dont la distance à la limite est de plus en plus petite en valeur absolue

Cordialement

GaBuZoMeu

Le nom n'indique pas grand chose et ta terminologie est toute personnelle.

Jean Lismonde dit qu'une suite $(u_n)$ converge implosivemnt quand elle converge et que les suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont monotones de sens de variation opposés. C'est ça ?

jandri

J'ai trouvé une démonstration qui est la même pour les deux suites.

Je pose pour $\varepsilon$ fixé dans $\{-1,+1\}$ : $w_0=\sqrt2+\dfrac{\varepsilon}4$ et pour $n\geq1$ , $w_n=2^n\varepsilon(w_{n-1}^2-2)$

On montre facilement par récurrence que $w_n=\sqrt2+\dfrac{\varepsilon}{2^{n+2}}$ donc la suite $w_n$ converge vers $\sqrt2$ et de plus $w_n>0$.

De $w_{n-1}=\sqrt{2+\varepsilon\dfrac{w_n}{2^n}}$ on déduit : $w_0=\sqrt2+\dfrac{\varepsilon}4=\sqrt{2+\varepsilon\dfrac12\sqrt{2+\varepsilon\dfrac14\sqrt{2+\varepsilon\dfrac18\sqrt{\cdots+\varepsilon\dfrac1{2^{n-1}}\sqrt{2+\varepsilon\dfrac{w_n}{2^n}}}}}}$

En formant $u_n-w_0$ (resp $v_n-w_0$) et en multipliant par les expressions conjuguées on obtient la convergence de $u_n$ et $v_n$.
C'est une convergence en $\dfrac1{2^{n(n+1)/2}}$ donc très rapide.

Ben314159

Salut,
Sauf erreur, si pour $a\!>\!0$ fixé et tout $n\!\in\!{\mathbb N}$ on considère la fonction réelle définie par
$f_n(x)=\sqrt{a+x\sqrt{a+\dfrac{x}{2}\sqrt{a+\dfrac{x}{4}\sqrt{\cdots+\dfrac{x}{2^{n-1}}\sqrt{a+\dfrac{x}{2^n}}}}}}$
alors la suite $(f_n)_{n\geq 0}$ converge normalement vers la fonction $g:x\mapsto \sqrt{a}+\dfrac{x}{2}$ sur tout compact contenu dans $]-2\sqrt{a},+\infty[$.

troisqua

@Ben314159 : "converge normalement" ?  $f_n$ n'est pas une série de fonctions. Que veux-tu dire ?

Ben314159

C'est effectivement un lapsus : je voulais écrire "converge uniformément" , j'ai pensé à "norme uniforme" et . . .  j'ai écrit "normalement" au lieu d'uniformément . . .

jean lismonde

Bonjour
Merci Alain pour la correction Latex de mes écritures mathématiques

Jandri est toujours impressionnant dans ses propositions sur les questions analytiques
je n'ai pas tout compris (je dois éplucher sa réponse)
mais merci à lui et aussi à Ben pour sa tentative de généralisation des résultats obtenus :
$\lim u_n = L = \sqrt{2} - \frac{1}{4}$                et            $\lim v_n = M = \sqrt{2} + \frac{1}{4}$
la convergence de $u_n$ est alternée implosive et celle de $v_n$ est directe à gauche de la limite.
Cordialement.

jandri

La démonstration de @Ben314159  généralise ce que j'ai obtenu et les calculs sont à peu près les mêmes.
Je préfère poser $g_n(x)=\sqrt{a+x\sqrt{a+\dfrac{x}{2}\sqrt{a+\dfrac{x}{4}\sqrt{\cdots+\dfrac{x}{2^{n-1}}\sqrt{a}}}}}$ avec $g_0(x)=\sqrt a$ , $g_1(x)=\sqrt{a+x\sqrt a}$, etc.
Cela donne la même limite que pour le $f_n(x)$ de @Ben314159  (pour qui $f_1(x)$ n'est défini que pour $x\geq-a$).

On montre aisément que $g_n(x)$ est défini pour tout $x\geq-\sqrt a$ et que $g_n(x)=\sqrt{a+x g_{n-1}(x/2)}\geq0$.
En posant $g(x)=\sqrt a+\dfrac x2$ on a pour tout $x\geq-\sqrt a$ : $g(x)=\sqrt{a+x g(x/2)}$ et $g(x)\geq\dfrac12\sqrt a$.
On calcule alors :$ (g_n(x)-g(x))(g_n(x)+g(x))=x(g_{n-1}(x/2)-g(x/2))$
D'où par récurrence $(g_n(x)-g(x))\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}(g_{n-k}(x/2^k)+g(x/2^k))=\dfrac {x^n}{2^{n(n-1)/2}}(g_0(x/2^n)-g(x/2^n)) =\dfrac {-x^{n+1}}{2^{n+1+n(n-1)/2}}$
Comme $g_{n-k}(x/2^k)+g(x/2^k))\geq\dfrac12\sqrt a$ on obtient $|g_n(x)-g(x)|\leq \dfrac{|x^{n+1}|}{(\sqrt a)^n}\dfrac1{2^{1+n(n-1)/2}}$ qui tend très rapidement vers $0$ quand $n\to+\infty$ (on a même convergence uniforme sur tout compact).