Processus adapté

fredaulycee2

Bonjour,
si je dispose d'un processus $X_t$ solution d'une EDS de la forme :

$dX_t=r(t,X_t)dt+s(t,X_t)dB_t$.

Puis-je affirmer que ce processus est adapté à la filtration associée à mon mouvement brownien ?

Un mélange entre "méthode d'Euler" et passage à la limite m'incite à penser que oui...

D'avance merci
Bonne journée
F.

Barjovrille

Bonjour, il y a plusieurs hypothèses à préciser, mais il faut faire attention.
Si tu comprends l'anglais  : 
https://math.stackexchange.com/questions/1720498/are-ito-integrals-adapted-to-the-brownian-motion-filtration
Dans les commentaires, il y a un cas problématique qui est évoqué.

fredaulycee2

Bonsoir,
si j'ai bien compris:
-une solution forte est adaptée
-si $(X_t)$ est adapté, alors $\int_0^t f(u,X_u)dB_u$ est adapté.
Is it good ;-)
A+
F

Barjovrille

Oui, pour $\int_0^t f(u,X_u)dB_u$ il faut sûrement ajouter une hypothèse sur $f$, (par exemple $f$ mesurable).

fredaulycee2

Merci !