Processus stochastique

Bonjour
Dans la correction d'un exercice, il y a une affirmation que je ne comprends pas. J'aurai sdonc besoin de votre aide s'il vous plaît.
Voici l'exercice.   

Soit $X_{t}=\int_{0}^{t} s \mathrm{~d} B_{s}$. Ainsi défini, $X_{t}$ suit une loi normale centrée de variance $\frac{1}{3} t^{3}$. (Car $\operatorname{Var}\left(X_{t}\right)=\mathbb{E}\left(X_{t}^{2}\right)=\int_{0}^{t} s^{2} \mathrm{~d} s=\frac{1}{3} t^{3}$.)
On pose : $Y_{t}=\int_{0}^{t} B_{s} \mathrm{~d} s$.
On montre assez simplement que : $Y_{t}=tB_{t}-X_{t}$
Et là, le correcteur affirme que $Y_{t}$ est une loi normale centrée. 
Je ne comprends pas pourquoi car pour affirmer que la différence de deux lois normales suive une loi normale, on a besoin d'indépendance. Or, dans l'exercice, je ne vois pas comment montrer que $B_{t}$ et $X_{t}$ sont indépendants.
Merci par avance.
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Réponses

  • fredaulycee2
    Modifié (November 2023)
    Salut,
    effectivement. Pour ma part, je dirais que $Y_t$ suit une loi normale, car le mouvement constitue un processus gaussien. La somme de Riemann associée à $Y_t$ est donc gaussienne, par passage à la limite $Y_t$ est donc une v.a. gaussienne. $Y_t$ est centrée et sa variance se calcule avec le théorème de Fubini et le fait que $cov(B_u,B_v)=\min(u,v)$.
    Pour ma part j'obtiens une variance de $\frac{t^3}{3}$.
    J'imagine que quelqu'un saura expliquer la première partie de façon un peu plus claire et rigoureuse ;-)
    On peut peut-être également utiliser le fait que comme le processus $(B_t)$ est gaussien, alors $Y_t=tB_t-X_t$ est, à un passage à la limite près, une v.a. gaussienne. 
    Dans ce cas, il est clair que $Y_t$ est centré par contre pour calculer la variance de $Y_t$, il ne faut pas oublier le terme $voc(B_t,X_t)$ puisque comme tu le remarques $B_t$ et $X_t$ ne sont pas indépendants.
    Bonne journée
    F.
  • Barjovrille
    Modifié (November 2023)
    Bonjour, si j'écris $Y_t= tB_t - X_t = t\int_{0}^t  dBs - \int_{0}^t s dBs= \int_{0}^t (t-s) dBs$, sous cette forme tu connais un résultat qui te permet de conclure ? 
    Si tu n'a pas accès à ce résultat tu peux partir de la dernière égalité que j'ai écrite et revenir à la définition de l'intégrale d'Itô comme limite de ...
    Sinon comme mentionné par fred  en remarquant que les trajectoires du Brownien sont presque surement continue tu peux aussi partir de l'expression $Y_t= \int_{0}^t B_s ds$ et regarder ça comme limite d'une somme de Riemann. 

    Dans tous les cas il faudra remarquer que tu as à faire à une limite (en un sens qui convient) de v.a gaussiennes.
  • Darksasukee
    Modifié (November 2023)
    Bonjour
    Merci de vos réponses. Oui effectivement, @fredaulycee2 on peut le voir sous cet angle, cela fonctionne très bien !

    @Barjovrille et en effet, c'est un processus de Wiener donc c'est un processus gaussien. Ainsi toutes ses coordonnées sont forcément des lois normales. 

    Merci encore ! 
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