Suite de distances

OmarLab

Soit $(E,\|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé et $d$ la distance associée, et soient $A$ une partie non vide de $E$ et $a \in E$. La distance de $a$ à $A$ est définie par $d(a, A)=\inf \{\|x-a\|\mid x \in A\}$
1. Justifier l'existence de $d(a, A)$.
2. Montrer que $\forall(x, y) \in E^2,\ d(x, A) \leq\|x-y\|+d(y, A)$.
En déduire que l'application $d_A: E \mapsto \mathbb{R}$ est lipschitzienne.
3. Soit $\left(A_n\right)_{n \in \N}$ une suite croissante de parties de $E$, on pose $A=\bigcup_{n \in \N} A_n$ et $\alpha_n=d\left(a, A_n\right)$
a. Montrer que $\left(\alpha_n\right)_{n }$ converge et que $\lim \alpha_n=d(a, A)$.
b. Que dire dans le cas oủ $\left(A_n\right)_{n \in \N}$ est décroissante et $A=\bigcap_{n \in \N} A_n$.

OmarLab

Je bloque à 3-a j'ai réussi à démontrer que la suite converge mais je n'ai pas pu démontrer que sa limite vaut d(a,A), j'ai même tenté d'utiliser la défintion mais rien. le problème, je pense est comment on traduit que les An 'tendent' vers A ?

JLapin

Essaye de démontrer deux inégalités à la place de l'égalité.

OmarLab

L'une des deux inégalités est immédiate car pour tout n de N on a An inclus A et alors d(a,A)=<d(a,An) mais je ne vois pas comment tirer l'autre.

raoul.S

Par définition de l'inf : pour tout $\varepsilon >0$, il existe $a'\in A$ tel que $d(a,a')\leqslant d(a,A)+\varepsilon$. Ce $a'$ va forcément appartenir à l'un des $A_n$ non ?

OmarLab

Ah oui a priori c'est ça ce que j'ai tenté de faire mais j'écrivais la définition d'une manière fausse (j'ai mis supérieur). Merci.

JLapin

mais je ne vois pas comment tirer l'autre.

Il te suffit de montrer que la limite $\ell$ est un minorant de l'ensemble $\{d(x,a)\mid a\in A\}$.