Deux perpendiculaires, encore !

Bonsoir à tous,
Je vous propose ce problème, qui est une variante de celui dont la référence est : "Sharygin Geometry Olympiads 2022, Final Round 9.7", trouvé sur le site AoPS (Art of Problem Solving).
Soit un triangle $ABC$ et son orthocentre $H$. Le cercle circonscrit à $AHC$ coupe les droites $AB$ et $BC$ en $P$ et $Q$, respectivement. Les demi-droites $HP$ et $HQ$ coupent en $J$ et $K$, respectivement, les perpendiculaires à $AC$ en $A$ et en $C$, respectivement. D'autre part, les droites $PQ$ et $AC$ se coupent en $R$.
Montrer que la droite $JK$ :
1) passe par le point $R$,
2) et est perpendiculaire à la médiane $BE$.
Bien cordialement, JLB 


Réponses

  • Rescassol
    Modifié (November 2023)
    Bonsoir,

    En barycentriques:
    % Jelobreuil - 04 Novembre 2023 - Deux perpendiculaires, encore !
    
    % Soit un triangle ABC et son orthocentre H.
    % Le cercle circonscrit à AHC coupe les droites (AB) et (BC) en P et Q.
    % Les demi-droites (HP) et (HQ) coupent en J et K les perpendiculaires 
    % à (AC) en A et en C.
    % Les droites (PQ) et (AC) se coupent en R.
    
    % Montrer que la droite (JK)
    % 1) passe par le point R
    % 2) est perpendiculaire à la médiane (BE)
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    clc, clear all, close all
    
    syms a b c real % Longueurs des côtés du triangle ABC
    
    Sa=(b^2+c^2-a^2)/2; % Notations de Conway
    Sb=(c^2+a^2-b^2)/2;
    Sc=(a^2+b^2-c^2)/2;
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    A=[1; 0; 0]; % Sommets du triangle ABC
    B=[0; 1; 0];
    C=[0; 0; 1];
    
    BC=[1, 0, 0]; % Côtés du triangle ABC
    CA=[0, 1, 0];
    AB=[0, 0, 1];
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    H=[Sb*Sc; Sc*Sa; Sa*Sb]; % Orthocentre du triangle ABC
    E=[1; 0; 1]; % Milieu de [AC]
    
    syms tP real
    P=Barycentre([A,B],[1,tP]);
    NulP=Cocycliques(A,H,C,P,a,b,c);
    polP=coeffs(numden(NulP),tP,'All');
    tP=Factor(-polP(2)/polP(1)); % On trouve tP=-(a^2-b^2)/(a^2-b^2+c^2)
    P=SimplifieBary(Barycentre([A,B],[1,tP]));
    % On trouve P=[a^2-b^2+c^2; b^2-a^2; 0]. De même:
    Q=[0; b^2-c^2; a^2-b^2+c^2];
    
    J=SimplifieBary(Wedge(Wedge(H,P),DroiteOrthogonaleBary(A,CA,a,b,c)));
    % On trouve:
    J=[(2*b^2+c^2)*a^2-(b^2-c^2)*(2*b^2-c^2); -2*b^2*(a^2-b^2); (a^2-b^2)*(-a^2+b^2+c^2)];
    
    K=SimplifieBary(Wedge(Wedge(H,Q),DroiteOrthogonaleBary(C,CA,a,b,c)));
    % On trouve:
    K=[(b^2-c^2)*(a^2+b^2-c^2); -2*b^2*(b^2-c^2); -(a^2+2*b^2)*c^2+(a^2-b^2)*(a^2-2*b^2)];
    
    R=SimplifieBary(Wedge(Wedge(P,Q),CA));
    % On trouve R=[b^2-c^2; 0; a^2-b^2]
    
    NulJKR=Factor(det([J K R])) % Égal à 0, donc J, K, R sont alignés
     
    Gram=MatriceGram(a,b,c);
    JK=Wedge(J,K); % [2*(a^2-b^2), 3*(a^2-b^2+c^2), -2*(b^2-c^2)]
    BE=Wedge(B,E); % [1; 0, -1]
    NulPerp=Factor(JK*Gram*BE.') % Égal à 0 donc (JK) et (BE) sont orthogonales.
    
    % Leur point d'intersection est Tb=[3*Sb; b^2-2*Sb; 3*Sb]
    Cordialement,
    Rescassol

  • bd2017
    Modifié (November 2023)
    Bonjour
    Soit $R$ l'intersection des droites $(CA)$ et $(QP)$
    $(CK) // (BH)$ (car $\bot$ à $(AC)$)
    Donc  $QC/QB=CK/BH$ 
    De façon analogue on a :
    $PA/PB=AJ/BH$ 
    Donc $CK/AJ=QC/QB \times PB/PA = RC/RA$   (d'après le Ménélaüs)  
    D'où  $K,J, R$ alignés (réciproque de Thalès)
     
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