Continuité des primitives d'une fonction

JRManda
Modifié (November 2023) dans Analyse

Bonjour chers tous
Considérons une fonction $f$ définie et continue sur un intervalle $I\subseteq \mathbb{R}$, donc intégrale sur tout ensemble borné inclus dans $I$. Soit $F$ une primitive de $f$, c’est-à-dire $F(x)=\int f(x)\mathrm{d}x$, pour tout $x\in I$. Alors intuitivement, ou du moins « naïvement », on peut penser que $F$ est aussi continue sur tout l’intervalle $I$.

Seulement voilà : si on considère la fonction réelle $f$ définie par $f(x)=\dfrac{1}{1+\cos^{2}x}$, pour tout $x\in I=\mathbb{R}$, elle est continue sur tout $\mathbb{R}$. De plus, on établit que $F(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot \arctan\left(\dfrac{\tan x}{\sqrt{2}}\right)$ est une primitive de $f(x)$, c’est-à-dire, à une constante près :
 $$ F(x)=\int f(x)\mathrm{d}x=\int \frac{\mathrm{d}x}{1+\cos^{2}x}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot \arctan\left(\dfrac{\tan x}{\sqrt{2}}\right)$$
Et là, on constate que $F$ n’est ni définie, ni continue aux points $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Alors, il se pose les deux questions suivantes.

  1.             Existe-t-il une primitive $F$ de $f$ qui est continue sur tout $\mathbb{R}$ ? Si oui, laquelle ?
  2.             Si non, à quoi est dû cette discontinuité de la primitive $ F(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot \arctan\left(\dfrac{\tan x}{\sqrt{2}}\right)$ ?

Vos contributions sont les bienvenues.

Réponses

  • gebrane
    Modifié (November 2023)
    Une primitive de f sur un intervalle I est une fonction F derivable sur I vérifiant F'=f.
    Une fonction derivable sur I  est continue sur I, n'est ce pas?
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Ben314159
    Modifié (November 2023)
    Salut
    Et au cas où ce que dit gebrane ne soit pas suffisamment clair, ta fonction $F$ n'est sûrement pas une primitive de ta fonction $f$ sur $\R$ tout entier ne serait-ce que du fait qu'elle n'est pas définie sur $\R$ !!!
    Par contre, ce qui est vrai, c'est que ta fonction $F$ est bien UNE des primitives de $f$ sur l'intervalle $]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$, les autre étant évidement égales à $F$ plus une constante. 
    Et les primitives de $f$ sur $]\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}[$ sont de la même forme $F + Cst$, sauf que, si tu veut fabriquer une primitive de $f$ sur l'intervalle $]-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}[$ en "recollant" une primitive $F+Cst$ sur  $]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$ avec une autre primitive $F+Cst$ sur  $]\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}[$, ben ce n'est pas la même constante qu'il faut prendre les deux fois, sinon le résultat ne se prolonge pas par continuité en $\frac{\pi}{2}$.  Par contre, en choisissant convenablement les constantes, non seulement on va pouvoir prolonger par continuité en $\frac{\pi}{2}$ mais le résultat sera même dérivable en $\frac{\pi}{2}$ (ce qui était évident depuis le départ vu qu'on a sous les yeux une primitive de $f$ . . .)
    Bref, si tu veux une primitive de $f$ sur $\R$ tout entier, ben il faut rajouter à ta fonction $F$ des constantes (différentes) sur chaque intervalle $]-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi[$, avec $k\!\in\!{\mathbb Z}$.
  • Bonjour,

    Ne serait pas plus simple de considérer 
    $$F(x)=\int_{0}^x \frac{1}{1+\cos^2 t} \  \textrm{dt},$$ ceci pour tout $x$ dans $\mathbb{R}$. $F$ est bien continue sur $\mathbb{R}$ non et primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ ? Cela répond parfaitement au 1. et gebrane a raison.

    En considérant une primitive explicite sur un intervalle particulier, alors la primitive particulière et $F$ coïncident sur l'intervalle particulier à une constante près.

    Jean-éric.
  • jean-éric
    Modifié (November 2023)
    Ensuite on peut assez facilement, déterminer explicitement une primitive $f_n$ de $f$ sur chaque intervalle $\left]-\frac\pi2+n\pi; \frac\pi2+n\pi \right[$ ($n\in \mathbb{Z}$) puis faire ce travail de vérification de continuité et dérivabilité en $\frac\pi2+n\pi$.
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