Tribu borélienne

Bethebesteveryday

Bonjour tout le monde.
S'il vous plait, je pose mon problème.
$ f:\R\to\>R$ est mesurable si et seulement si pour tout $a,b$ éléments de $\R $, la restriction de $f$ à $[a,b]$ est mesurable.
J'essaie de voir avec l'implication directe, si $f:\R\to\R$ est mesurable, c'est que $f^{-1}(B(\R))$ est inclus dans $B(\R)$ (avec $B(\R)$ est la tribu de Borel). 
On veut aboutir au résultat suivant que $f:[a,b]\to\R$ est mesurable c'est-à-dire $f^{-1}(B(\R))$ est inclus dans tribu de $[a,b] $je la note $M$. comment se construit $M$ ?

zygomathique

salut

n'a-t-on pas que M est la trace de B(R) sur [a, b] ou encore que tout élément de M est l'intersection de [a, b] avec un élément de B(R) ...

Bethebesteveryday

Qu'est ce-qu'une trace de B(R) ? et pourquoi on a le 2ème résultat d'intersection ?
Je n'ai pas vu ceci en cours. 

hx1_210

par quoi est engendrée la tribu des boreliens?

Poirot

Inutile d'employer du jargon tel que "trace d'une tribu" auprès de quelqu'un qui découvre visiblement la notion de tribu. Faisons les choses proprement : Supposons que $f : \mathbb R \to \mathbb R$ est mesurable (pour les tribus boréliennes au départ et à l'arrivée). Soit $B$ un borélien de $\mathbb R$. Peux-tu décrire $f_{\mid [a, b]}^{-1}(B)$ ? C'est la première étape. Ensuite il s'agira de montrer que l'ensemble considéré appartient bien à $\mathcal B([a, b])$, et pour ce faire il faudra se rappeler de la définition de $\mathcal B([a, b])$.

zygomathique

@Poirot : qu'il débute c'est une chose (évidente) ... mais sais-tu ce qu'il sait ou ne sait pas ? ce qu'il a dans son cours ou pas ?

et tu termines ton discours par ... exactement ce que je dis et que si @Bethebesteveryday n'a pas ça dans son cours (sans éventuellement le terme "trace" je te l'accorde) ben je ne vois pas comment il peut faire cet exercice ...

Poirex278

Bonsoir
Si tu prends l'image réciproque d'un borélien B par la restriction de f à [a,b] tu peux montrer que ce n'est rien d'autre que l'image réciproque de B par f qu'on intersecte à [a,b]. On sait par hypothèse que f est mesurable donc f^{-1}(B) est un borélien.

Ton problème se ramène donc à montrer que l'intersection d'un élément de la tribu borélienne sur $R$ avec [a,b] est un borélien de la tribu borélienne sur [a,b]. En fait, tu peux montrer le résultat plus général que B([a,b]) = {B inter [a,b] ; B borélien de R}

J'ai réfléchi au problème il y a quelques jours donc je te donne mes pistes de résolutions : 
1) Pour l'inclusion directe, tu utilises le fait que B([a,b]) est la plus petite tribu engendrée par les fermés de [a,b] (qui sont aussi des fermés de ...) et tu montres que {B inter [a,b] ; B borélien de R} est bien une tribu (c'est une tribu trace, un exercice plus générique à ce sujet : https://www.i2m.univ-amu.fr/perso/thierry.gallouet/tele.d/tele90/envoi1-corriges à l'exo 11) qui contient les fermés de [a,b].

2) Pour l'inclusion réciproque, tu poses l'identité entre [a,b] et R. C'est continue donc c'est mesurable pour les tribus boréliennes (cela vient de la caractérisation topologique de la continuité) et donc l'image réciproque de tout borélien de R B est égale à B inter [a,b] et on a en plus que c'est un borélien de [a,b] par mesurabilité de l'identité. [ J'espère ne pas avoir triché ]

Bonne chance pour la résolution de cet exercice !

Bethebesteveryday

Merci beaucoup pour votre aide !

Pour montrer l'égalité B([a,b])={B inter [a,b] ; B borélien de $R$} comme vous l'avez constaté @Poirex278 que B([a,b]) est la tribu engendrée par les fermés de $R$ , il suffit de montrer que (1) {B inter [a,b] ; B borélien de $R$} est une tribu , (2) que le générateur appartient (ça c'est clair), et que pour toute tribu T={B inter [a,b] ; B borélien de $R$} qui contient le générateur , T inclus dans B([a,b]).
(1) et (2) donne l'inclusion directe.

Bethebesteveryday

@Poirex278 Bonjour, s'il vous plait , dans le problème il faut montrer que $f^{-1}(B(\R))$ inclus dans $B([a,b])$ dans l'implication directe ?

[Pour avoir $-1$ en exposant, il faut l'encadrer par des accolades : {-1} ainsi f^{-1} donne $f^{-1}$ alors que f^-1 donne $f^-1$.  AD]

Bethebesteveryday

D'accord AD , merci.

raoul.S

Pour l'implication directe tu ne dois pas montrer que $f^{-1}(\mathcal{B}(\R))$ est inclus dans $\mathcal{B}([a,b])$. Tu dois montrer que $f_{\mid [a, b]}^{-1}(\mathcal{B}(\R))$ est inclus dans $\mathcal{B}([a,b])$. C'est ce que disait Poirot ci-dessus.

Bethebesteveryday

Que veut dire la notation utilisée avec double crochet sur [a,b] ?
Oui @raoul.S, je n'ai pas fait attention à ce que Poirot m'a donné comme indication, c'est exactement ça, mais comment se décrit ce dernier ?
Merci beaucoup.

raoul.S

Dans l'implication directe tu dois montrer que la restriction de $f$ à $[a,b]$ est mesurable. Or la fonction "restriction à $[a,b]$"  se note ainsi : $f_{\mid [a, b]}$ (ce n'est pas un double crochet). Cette fonction va de $[a,b]$ dans $\R$. Donc par définition de cette fonction "restriction", pour tout $x\in [a,b]$, tu as $f_{\mid [a, b]}(x)=f(x)$.

De façon générale, si tu as une fonction $g:A\to B$ d'un ensemble $A$ dans un ensemble $B$ et si $C\subset A$ alors la fonction restriction de $g$ à $C$ se note avec une barre verticale comme ceci $g_{\mid C}:C\to B$. C'est la notation adoptée ci-dessus, ce n'est pas un double crochet...

Poirex278

C'est effectivement la mesurabilité de la restriction de $f$ à $[a,b]$ pour les tribus boréliennes qui est en jeu. Donc pour l'implication directe, tu prends $B \in B(\mathbb{R})$, et tu regardes si $f^{-1}_{[a,b]}(B)$ = $f^{-1}(B) \cap [a,b]$ appartient bien à $B([a,b])$. 

Ce que je t'indiquais perso c'était que : 

1) $f^{-1}(B)$ était un borélien de $\mathbb{R}$ car f est $B(\mathbb{R})-B(\mathbb{R})$ mesurable par hypothèse
2) Donc tu peux te ramener au résultat "Si $B \in B(\mathbb{R})$ alors $B \cap [a,b] \in B([a,b])$"
3) Pour prouver ce résultat :  tu poses l'identité entre $[a,b]$ et $\mathbb{R}$. C'est une application continue donc mesurable pour les tribus boréliennes (cela vient de la caractérisation topologique de la continuité) et donc l'image réciproque de tout borélien de $\mathbb{R}$ $B$ est égale à $B \cap [a,b]$. Et tu conclues par mesurabilité de l'identité.
4) Je te proposais aussi l'autre sens en deux étapes : 
4.1) On montre que {$B \cap [a,b]$, $B \in B(\mathbb{R})$} est une tribu. Avec le lien indiqué en haut et l'exercice corrigé c'est facile à montrer
4.2) Pour le sens direct, tu peux te dire que $B([a,b])$ est la plus petite tribu engendrée par les fermés de $[a,b]$. Or, si tu prends un fermé $F$ de $[a,b]$ c'est aussi un fermé de $\mathbb{R}$ car $[a,b]$ est fermé de $\mathbb{R}$. Et donc c'est un élément de $B(\mathbb{R})$ et $F = F \cap [a,b]$.

Bethebesteveryday

@raoul.S A d'accord , ce n'était pas un double crochet effectivement , merci énormément pour l'information.

Bethebesteveryday

OK @Poirex278 , merci beaucoup pour toute indication.

Bonne soirée à tout le monde.

Bethebesteveryday

@Poirex278 Bonjour , s'il vous plait , pour l'implication réciproque, est-ce qu'elle est vraiment évidente (comme je viens de l'apercevoir) ?
Par hypothèse , on a $f^{-1}_{|[a,b]}(B(\R)) \subset B([a,b])$
donc ${f^{-1}(B(\R)) \cap [a,b]} \subset {B \cap [a,b] ,\ B \in B(\R)}$
donc $f^{-1}(B(\R)) \subset B(\R)$
donc  $f$ est mesurable 
Est-ce que je déconne ?
Merci beaucoup.

[En $\LaTeX$, on a les commandes
\subset $\subset$ pour inclus,
\cap $\cap$ pour intersection (penser à chapeau), \cup $\cup$ pour union (penser à un bol),
\in $\in$ pour dans et
\R $\R$ pour l'ensemble des réels.  AD]

Bethebesteveryday

D'accord AD , merci énormément.

Bethebesteveryday

@AD Si je veux une intersection de n allant de 1 à l'infini comment l'écrire ?

gerard0

\cap_{n=1}^{+\infty}

Bethebesteveryday

Merci @gerard0

raoul.S

Ton passage de ${f^{-1}(\mathcal{B}(\R)) \cap [a,b]} \subset \{B \cap [a,b] ,\ B \in \mathcal{B}(\R)\}$ à
$f^{-1}(\mathcal{B}(\R)) \subset \mathcal{B}(\R)$ demande une justification. Voici une piste (en fait c'est quasiment la réponse mais bon...):

1) montrer que pour tout $B\in \mathcal{B}(\R)$, $f^{-1}(B)\cap [a,b]\in \mathcal{B}(\R)$
2) que peut-on dire de $\displaystyle\bigcup_{n\in \N}\left(f^{-1}(B)\cap [-n,n]\right)$ pour $B\in \mathcal{B}(\R)$ ?
3) utiliser le fait que tout union dénombrable d'éléments de $\mathcal{B}(\R)$ est dans $\mathcal{B}(\R)$ pour conclure

Essaie de détailler rigoureusement les 3 points pour conclure.

Bethebesteveryday

Bonjour @raoul.S
1/ On a ceci par hypothèse
2/ On a $f^{-1}(B) \cap [-n,n] \subset f^{-1}(B) \cap [a,b] \subset B(\R)$ et puisque $B(\R)$ est la tribu engendrée par les intervalles ouverts de $\R$ , on a bien la réunion dénombrable des $f^{-1}(B) \cap [-n,n]$ dedans.
3/ C'est fait ..

PS : j'ai envoyé le message hier soir , mais y avait un problème d'envoi..

Math Coss

Je trouve la notation $f^{-1}(\mathcal{B}(\R))$ peu adaptée (déjà que la notation $f^{-1}(B)$ pour $B\in\mathcal{B}(\R)$, si habituelle qu'elle soit, est problématique). On part de $f:\R\to\R$ ; on en déduit une application $f^{-1}:\mathcal{P}(\R)\to\mathcal{P}(\R)$ ; on est censé comprendre que $f^{-1}(\mathcal{B}(\R))$ est l'image directe de la partie $\mathcal{B}(\R)$ par l'application induite par $f^{-1}$ sur $\mathcal{P}(\mathcal{P}(\R))$ : trop de sous-entendus à mon goût à ce niveau du jeu !

Là où ça devient pire, c'est $f^{-1}(\mathcal{B}(\R))\cap[a,b]$, qui consiste à mettre un ensemble de parties de $\R$ à gauche de $\cap$ et une partie de $\R$ à droite. Pas une bonne notation – du moins à ce niveau du jeu – même si on peut donner un sens : pour $\mathcal{C}\subset\mathcal{P}(\R)$, $\mathcal{C}\cap [a,b]=\{D\in\mathcal{P}(\R)\mid \exists C\in\mathcal{C},\ D=C\cap[a,b]\}$.

L'assertion ${f^{-1}(B(\R)) \cap [a,b]} \subset {B \cap [a,b] ,\ B \in B(\R)}$ n'a aucun sens : à gauche de l'inclusion, on a (avec les conventions précédentes) une partie de $\mathcal{P}(\R)$, alors que $B\cap [a,b]$ est une partie de $\R$, ce qui pose un sérieux problème de « niveau » (ici je dis que le niveau 1 est celui des éléments de $X$, le niveau 2 celui des parties de $X$ et le niveau 3 celui des parties de $\mathcal{P}(X)$).

Il me semble que la remarque de @raoul.S montre précisément que cette notation si pleine de sous-entendus masque la difficulté.

Il n'est pas beaucoup plus long d'écrire : on va montrer que pour $B\in\mathcal{B}(\R)$, $f^{-1}(B)$ est un borélien. Ce qu'on sait (pourquoi ? cf. point 1 du message de @raoul.S), c'est que $B\cap[a,b]\in\mathcal{B}(\R)$ pour tout $a$ et tout $b$. Etc.

Bethebesteveryday

@Math Coss Dans votre définition de $f^{-1}$ , c'est quoi $P(X)$ , $X$ d'abord ? 

Math Coss

À un moment j'ai pris pour $X$ un ensemble quelconque, $\mathcal{P}(X)$ est l'ensemble des parties de $X$ et $\mathcal{P}(\mathcal{P}(X))$ est l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de $X$. Alors :

• un élément de $X$ est un élément de $X$ (eh !) ;
• une partie de $X$ telle qu'un élément d'une tribu est un élément de $\mathcal{P}(X)$ ;
• une tribu est un élément de $\mathcal{P}(\mathcal{P}(X))$.

Edit : À un autre moment j'ai mis $X$ à la place de $\R$, ce qui est rectifié.

raoul.S

@Bethebesteveryday tes réponses ICI ne sont pas correctes.

Je reprends la 1). Tu dis que l'on a ceci par hypothèse, mais c'est faux. L'hypothèse qu'on a est la suivante : pour tout $B\in \mathcal{B}(\R)$ et tous $a,b\in \R$ avec $a<b$, $f^{-1}(B)\cap[a,b]\in \mathcal{B}([a,b])$.

Toi tu dois démontrer que $f^{-1}(B)\cap[a,b]\in \mathcal{B}(\R)$, c'est différent. Il y a juste un petit argument pour prouver ceci, mais tu dois le mentionner autrement ça ne passera pas.

PS. pour le reste je suis d'accord avec @Math Coss. Juste une remarque Math Coss, l'écriture ${B \cap [a,b] ,\ B \in B(\R)}$ de Bethebesteveryday est une coquille, si tu regardes le code latex tu verras qu'elle a écrit {B \cap [a,b] ,\ B \in B(\R)} en oubliant le "\" devant les parenthèses [accolades] qui n’apparaissent donc pas.

Math Coss

En effet ! J'ai pourtant copié-collé le code et vu cette profusion d'accolades mais je ne l'ai pas interprétée comme un oubli. Ce n'est pas vraiment du mauvais esprit mais c'est assurément un manque de bon esprit de ma part...

Bethebesteveryday

@Math Coss Je pense qu'une tribu est un élément de $P(X)$ , pourquoi vous dites que c'est un élément de $P(P(X))$ ?

gerard0

Revoir la définition d'une tribu.

Math Coss

On se donne un espace topologique $X$.

Un borélien, comme un ouvert, est une partie de $X$, c'est-à-dire un élément de $P(X)$.

Une tribu, comme une topologie, est un ensemble de parties de $X$, c'est-à-dire un élément de $P(P(X))$.

Bethebesteveryday

Merci @Math Coss