Trapèze isocèle

Ludwig

Bonjour,

Pour le trapèze d'aire maximale l'abscisse du point $K$ introduit par @Ben314159 est solution de l'équation $4x^2-wx+1=0$, avec $w=3u+2v$. On peut donc se ramener à construire l'intersection d'une parabole et d'une droite. Dans le but d'obtenir une figure symétrique j'ai adapté la jolie méthode d'Ernest Lebon (1885) en réécrivant l'équation sous la forme : $$x^2-\frac{1}{4}=\frac{wx-2}{4}.$$ On part donc du point $W(v+\frac{3u}{2},0)$, très facile à placer à partir de $U$ et $V$. Le cercle de centre $W$ passant par $O$ coupe le cercle trigonométrique en $T$ et $T'$. La droite $(TT')$ coupe le cercle de centre $O$ et de rayon $1/4$ en $R$ et $R'$. $(Oy)$ coupe ce cercle en $I$ et $I'$. La droite $(RI')$ coupe la parallèle à $(Ox)$ passant par $I$ en $L$, la droite $(R'I)$ coupe la parallèle à $(Ox)$ passant par $I'$ en $L'$. Et enfin $(LL')$ coupe le cercle de diamètre $[OU]$ en $K$ et $K'$ : 

Le trapèze d'aire maximale s'obtient en prenant les intersections de $(UK)$ et $(UK')$ avec le cercle trigonométrique.