Exercice de proba

Fr0sty

Bonjour. Malgré quelques recherches je ne parviens pas à réaliser ce devoirs. Pouvez-vous m'aider ? 

Les probabilités demandées seront données à 10^-3 près. Pour aider à la détection de certaines allergies, on peut procéder à un test sanguin dont le résultat est soit positif, soit négatif. Dans une population, ce test donne les résultats suivants :
- Si un individu est allergique, le test est positif dans 97% des cas.
- Si un individu n'est pas allergique, le test est négatif dans 95,7 % des cas. Par ailleurs, 20% des individus de la population concernée présentent un test positif. On choisit au hasard un individu dans la population, et on note : • A l’événement « l'individu est allergique » ; T l’événement « l'individu présente un test positif ». On notera A et T les événements contraires de A et T. On appelle par ailleurs a la probabilité de l’événement A : P(A) = x. 

1. Donner les valeurs de P(T), PA(T) et PA|(T|) 

2. Créer un arbre représentant la situation. 

3. a) Démontrer l'égalité : P(T) = 0,927x + 0,043. 

b) En déduire la probabilité que l'individu choisi soit allergique. 

4. Justifier par un calcul l'affirmation suivante : " Si le test d'un individu choisi au hasard est positif, il y a plus de 80% de chances que cet individu soit allergique".

Merci ! 

NicoLeProf

Bonjour,

traduis bien les données de l'énoncé avec des probas.

Prenons cette phrase : "Si un individu est allergique, le test est positif dans $97\%$ des cas". Cette phrase signifie : "la proba que le test soit positif, sachant que l'individu choisi au hasard est allergique, est $0,97$".

Ceci te donne donc la proba conditionnelle de $T$ sachant $A$, proba notée $P_{A}(T)$.

Essaie de me donner les autres probas demandées dans la question 1. (Cela dit, je ne comprends la dernière notation avec les | |, de quelle proba veux-tu parler ici ?).

Tu peux aussi essayer de faire l'arbre de la question 2 : c'est un grand classique à maîtriser en probas. Je t'aide un peu : commence par faire deux branches : $1$ branche vers $A$ et $1$ branche vers $\overline{A}$ (le contraire de $A$). Ensuite, tu feras apparaître $T$ et $\overline{T}$ donc des probas conditionnelles (tu dois avoir un cours là-dessus ou des exemples déjà faits non ?).

N'hésite pas à les poser si tu as d'autres questions !

Fr0sty

Merci pour votre réponse ! 
Lorsque je parle de PA|(T|)  cela signifie P de T barre (inverse de T) inter A barre (inverse de A). Pour la question 1 j'ai trouvé que P(T) = 0.2 et PA(T) = 0.97. 

Pour l'arbre dans mon ennoncé un arbre est représenté avec une branche qui pointe vers A avec pour probabilité "x", je me demande donc si je dois compléter A barre (inverse de A) par 1-x ? 
Merci pour votre aide 

NicoLeProf

Tu es sûr que l'on te demande $P(\overline{T} \cap \overline{A})$ dès la question 1 ? Cela me paraît bizarre car elle ne fait pas partie des probas données dans l'énoncé même si elle se calcule en fonction de $x$. 

Ce n'est pas plutôt : $P_{\overline{A}}(\overline{T})$ (proba de $\overline{T}$ sachant $\overline{A}$ bel et bien présente dans l'énoncé !) que l'on te demande dans 1. ? ("Donner" sous-entendant qu'il n'y a pas de calcul à faire).

(Simple remarque au passage : $\overline{A}$ désigne le contraire de l'événement $A$. Le mot "inverse" est à éviter ici).

Pour l'arbre, c'est ça, tu es sur la bonne voie : on commence par une branche vers $A$ avec comme proba : $P(A)=x$ et une branche qui va vers $\overline{A}$ avec comme proba : $P(\overline{A})=1-P(A)=1-x$.

Je te laisse poursuivre !

Fr0sty

Oui pardon erreur de ma part c'est bien proba de T barre sachant A barre, désolé. Compris pour la formulation du contraire d'un événement merci ! Et pour l'arbre, c'est bien ce que je me disais, merci je continue !!! 

NicoLeProf

Avec plaisir ! N'hésite pas si tu as d'autres questions !

Fr0sty

De plus, est ce que l'arbre ressemblerait à ca ?
 

NicoLeProf

Attention, le $0,957$ n'est pas au bon endroit ! Relis l'énoncé, de quelle proba s'agit-il?

Sinon, c'est bien : courage, tu es sur la bonne voie !

Fr0sty

Ah oui, la gourde... il est juste en dessous à la place de 0.043 donc au contraire de T...
Merci ! 
Aussi, même avec des recherches je n'arrive pas à démontrer l'égalité P(T) = 0.927x+0.043. Comment pourrais je m'y prendre ? 

NicoLeProf

Voilà, tu as bien vu l'erreur sur l'arbre : très bien !

Pour l'égalité $P(T)=0,927x+0,043$, un réflexe est : utiliser la formule des probabilités totales.

Je commence et je te laisse finir/compléter : d'après la formule des probabilités totales, on a : $P(T)=P(T \cap ...)+P(T \cap ...)$. (Essaie de compléter la formule par lecture de l'arbre).

Ensuite, toujours avec l'arbre et les formules de ton cours, repasse par les probas conditionnelles. Je rappelle par exemple que : $P_{A}(T)=\dfrac{P(A \cap T)}{P(A)}$ donc $P(A \cap T)=...$. Je te laisse réfléchir !

Fr0sty

P(T)=P(T∩A)+P(T∩A barre) ??? et pour trouver P(A∩T) il faut donc faire PA(T) x P(A) ? 

NicoLeProf

Exactement !

Et tu connais toutes les probas mises en jeu ici !

gebrane

Bonjour NicoLeProf

Sais-tu pourquoi la formule $\ \dfrac{P(A \,\cap \, {B})}{P(B)}\ $ calcule bien ce qu'elle est censée calculer, c'est-à-dire la probabilité de la réalisation de l'événement $A$ sachant que l'événement $B$ s'est déjà réalisé ?

lourrran

Je suis toujours surpris avec ces arbres.

J'adore la consigne : 'il faut dessiner un arbre, avec les probabilités associées à chaque branche' ; ok, parfait, c'est un très bon outil pédagogique. 
Donc ok pour l'arbre proposé ci-dessus, une fois corrigé.

Mais pour moi, un arbre utilisable, c'est un peu plus que ça. J'ajouterais à droite, en face de chaque 'feuille' un nombre (ou une formule...)
La proba associée à <$\text{A}$> est $x$ ; la proba associée à <$\text{T | A}$> est $0.97$ ; et donc, la proba associée à <$\text{T et A}$> est $0.97 \times x$ 
Et idem pour les 3 autres feuilles.

Et là, tout est fait, l'arbre est exploitable.

NicoLeProf

Bonjour gebrane,

non, je ne sais pas (j'ai dû le savoir dans le temps où j'étais encore à la fac) : j'applique les formules en probas, c'est tout. (En dénombrement notamment : je suis au ras des pâquerettes ! ^^')

Mon niveau est très limité. Donc si tu as un peu de temps, n'hésite pas à m'instruire davantage.

gebrane

Nico, peut être que lui, il  sait. Attendons de savoir ce qu'il sait 

Fr0sty

Bonjour, une fois que j'ai réalisé le calcul P(A∩T) = PA(T) x P(A) = 0.97 x x = 0.97x. Je peux donc en déduire que P(T) = 0.97x + P(T∩A barre), donc pour trouver P(T∩A barre) faut-il que je fasse P(T∩A barre) = PA barre(T) x P(A barre) ? Sauf qu'il faut calculer PA barre(T) et je ne vois pas comment m'y prendre. Comment pourrais je faire ?

gerard0

La notion de proba conditionnelle est venue des probas élémentaires, sur des univers finis (Les probas continues sont apparues bien après !). On appelle, sur un univers $\Omega$ d'événements élémentaires équiprobables, probabilité de A sachant B (avec P(B)>0) la proba de l'événement A dans l'univers B. C'est tellement évident d'ailleurs que personne, aux dix-septième et dix-huitième siècle ne s'est posé la question de justifier cette notion. Les événements élémentaires de A qui se produisent dans l'univers B étant ceux de $A\cap B$, la proba conditionnelle est (*)$$P_B (A) = \frac{card \ A\cap B }{card\  B}.$$En divisant haut et bas par le nombre de cas possibles (dans $\Omega$), on tombe sur la formule$$P_B (A) = \frac{P(A\cap B )}{P(B)}$$qui a été généralisée (avec le même raisonnement) aux univers continus, puis remplacée par l'espérance conditionnelle pour les applications en stochastique.

Cordialement.

(*) "nombre de cas favorables sur nombre de cas possibles).

NicoLeProf

@Fr0sty, pour calculer $P(T \cap \overline{A})$, tu peux effectivement écrire : $P(T \cap \overline{A})=P_{\overline{A}}(T) \times P(\overline{A})$. 

Tu connais $P_{\overline{A}}(T)$ (regarde sur l'arbre corrigé) et tu connais $P(\overline{A})$ en fonction de $x$.

Puis, c'est du calcul. Courage, tu es sur la bonne voie pour trouver $P(T)$.

@gebrane : Fr0sty doit être en terminale vu l'exo donc je doute qu'il/elle sache précisément comment on définit une proba conditionnelle et tu vois bien que l'objectif de cette discussion est tout autre.

@gerard0 : je te remercie d'avoir pris le temps de fournir ces explications très intéressantes et très claires !!!

Fr0sty

Je trouve comme calcule à faire 0.043 x 1-x, seulement est ce que je dois multiplier 0.043 par 1 puis par -x ou on ne s'y prend pas de cette manière ? 

Fr0sty

Ah je viens de comprendre mon erreur... il faut en effet réaliser ce calcul 0.043 x 1-x ce qui donne comme résultat 0.043 - 0.043x. En prenant donc la formule du début P(T)=P(T∩A)+P(T∩A barre) on remplace et on trouve 0.97x + 0.043-0.043x puis en simplifiant on trouve 0.927x+0.043 !!!

Fr0sty

Bien ! Maintenant si j'ai bien compris la consigne, je dois trouver P(A) est-ce bien ça ? Si c'est le cas je ne vois pas du tout comment m'y prendre... Un petit coup de main ne serait pas de refus ! 

NicoLeProf

Fr0sty, tu as l'air d'avoir réussi (oui c'était seulement une simple distributivité).

Ok maintenant, regarde l'énoncé, tu viens de prouver que $P(T)=0,927x+0,043$.

As-tu une autre info sur $P(T)$? (Chercher les infos dans l'énoncé, utiliser les questions précédentes : très important en maths)

Fr0sty

Ah oui on a que P(T) est égale a 0.2

NicoLeProf

Donc on peut résoudre une équation !

Fr0sty

0.2 = 0,927x+0,043 ? 

Fr0sty

0,2 - 0,043 = 0,927x
0,157 = 0,927x
x = 0,157 / 0,927
x ≈ 0,169

Est ce de cette façon que je dois faire ? 

NicoLeProf

Oui en rédigeant un peu plus et notamment par équivalences logiques.

Sinon, la démarche est bonne.

Fr0sty

Ok merci, enfin derniere question. Justifier par un calcul l'affirmation suivante 
" Si le test d'un individu choisi au hasard est positif, il y a plus de 80% de chances que cet individu soit allergique".
Comment est-ce que je peux démontrer cette probabilité ? 

NicoLeProf

Essaie de faire preuve d'un peu plus d’initiative : relis la phrase.

"Si le test d'un individu choisi au hasard est positif, il y a plus de $80\%$ de chances que cet individu soit allergique".

On part du principe que ? (donc on a un sachant !) Pose-toi des questions et essaie de reformuler la phrase avec une proba conditionnelle.

Fr0sty

Ok je vais essayer a nouveau ! 

Fr0sty

De ce que je comprends on souhaite savoir si un individu qui est positif (P(T)), en sachant cette information on veut prouver que il y a plus de 80% de chance que cet personne soit allergique. C'est-à-dire que dans les P(T) on doit trouver la probabilité que il soit P(A), donc est-ce que la formule serait PT(A) (P de A sachant T) ??? 

NicoLeProf

Voilà !!! Super !

On cherche à prouver mathématiquement que : $P_{T}(A) >0,80$ !

Maintenant que tu as compris cela, ce qui est une très bonne chose, tu peux utiliser la formule habituelle pour calculer $P_{T}(A)$, fais-toi confiance, tu as toutes les données nécessaires pour pouvoir faire ce calcul. Tu me dis combien tu trouves et si tu parviens bien à la conclusion voulue !

Fr0sty

Ok parfait merci ! 

Fr0sty

Seulement dans le calcul je fais Pt(A) = P(A∩T) / P(T) mais je rappelle que P(A∩T) = 0.97x ce qui ferait : Pt(A) = 0.97x / 0.2 mais en résolvant l'équation ce n'est pas le résultat attendu ai-je fais une erreur ? 

NicoLeProf

On vient de trouver une valeur approchée de $x$ à la question précédente, il est temps de l'utiliser non?

Fr0sty

Faut-il refaire le calcul :  P(A∩T) avec les bonnes valeurs pour pouvoir calculer Pt(A) plus tard ? Si c'est ca  P(A∩T) = 0.2 x 0.169 = 0.0338. Donc Pt(A) = 0.0338/0.2 ? 

NicoLeProf

Je ne comprends pas ta question : de quelles "bonnes valeurs" parles-tu?

Tu te prends la tête pour pas grand chose : on a trouvé $P(A) \approx 0,169$ à la question précédente, c'est-à-dire $x \approx 0,169$, on remplace, on calcule $P_{T}(A)$ comme tu l'écris à la fin de ta dernière réponse (mais tu dois impérativement utiliser le symbole $\approx$ et non $=$) et on vérifie ce que l'on veut pour répondre à la question posée.

Fr0sty

Quand je dis bonne valeur je veux dire qu'on remplace par les données que l'on a. Donc ça donnerait P(A∩T) ≈ 0.2 x 0.169 ≈ 0.0338. Donc Pt(A) ≈ 0.0338/0.2 ≈ 0.169 est-ce la réponse attendue ? 

NicoLeProf

Mais non, ne mélange pas tout ! $P(A \cap T)=0,97 x$. Regarde l'arbre et ce que tu as écrit avant !

Le $0,2 \times 0,169$ ne donne pas du tout $P(A \cap T)$.

Tu vois bien que ce n'est pas la réponse attendue ! On veut prouver que $P_{T}(A) >0,80$.

Récapitule : $P(A \cap T)=P_{.....}(.....) \times P(.....) =0,97 x$ puis, $P_{T}(A)=\dfrac{P(A \cap T)}{P(T)} \approx \dfrac{.... \times ....}{....}$.

Fr0sty

P(A∩T)=PA(T)×P(A) et PT(A)=P(A∩T)/P(T)= 0.169 x 0.2 / 0.2 ? est ca ? 

NicoLeProf

Presque mais tu t'embrouilles trop !

$P(A \cap T)=P_{A}(T) \times P(A)=0,97 \times x$ (je te rappelle que $P_{A}(T)=0,97$).

Allez, corrige ton erreur, tu n'es pas loin !!!

Fr0sty

Mais nous avons trouvé P(A) précédemment, il ne faut pas l'utiliser ? 

Lol_a

Mais on l'utilise dans la formule donnée par @NicoLeProf !
Attention dans un tes précédent message tu as écrist quelque chose comme $P(A \cap T) = P(A) \times P(T)$ ce qui est faux en général !
C'est vrai si, et seulement si, $A$ et $T$ sont indépendants, c'est-à-dire, dans le cas où $P(A)$ et $P(T)$ sont non nuls, si et seulement si $P(T) = P_A(T)$ et $P(A) = P_T(A)$. C'est pour cela que tu trouvais $P_T(A) = 0,0169 = P(A)$ ce qui est faux dans le contexte de l'énoncé. Entre parenthèse tu aurais pu simplifier directement $\frac{0,2 \times 0,0169}{0,2}$ pour éviter de faire le calcul.

Cet exercice est LE modèle typique d'exercices sur les probabilités conditionnelles. Si tu le vois dans le contexte de tes études il faut impérativement le maîtriser.

NicoLeProf

Exactement, Lol_a que je remercie, a tout dit !!!

C'est vraiment le genre d'exercice à maîtriser pour les épreuves écrites du bac et tout !

Allez Fr0sty, récapitule encore en relisant nos commentaires.

Et présente moi un calcul juste de $P_{T}(A)$.

Fr0sty

Ah ok je comprends mon erreur, je vais modifier cela merci ! 

Fr0sty

J'arrive donc au calcul PT(A)=P(A∩T)/P(T) = 0.97x/ 0.2 est dans cette direction que je dois aller ? 

NicoLeProf

Oui et tu remplaces $x$ par combien ?

Lol_a

Sinon, si ce $x$ te bloque souviens-toi qu'on peut écrire $P(A \cap T) = ...$ avec $P_A(T)$ et $P(A)$ (que l'on connait) qui apparaissent quelque part dans ces $...$.

Fr0sty

Je remplace x par 0.169 ? 

Lol_a

Oui...