C'est compliqué M4d... Tu fais des contresens et tu écris des choses fausses : $0$ est le minorant ? Il n'y a pas unicité des minorants pour un ensemble.
Il faut écrire : $0$ est la borne inférieure de l'ensemble $\{||x-y||, x \in K, y \in F\}$ donc $0$ est le plus grand des minorants de cet ensemble.
Tu es d'accord ensuite que pour tout entier naturel $n$ non nul, $\dfrac{1}{n} >0$ n'est-ce pas ?
Donc $\dfrac{1}{n}$ peut-il être un minorant de l'ensemble : $\{||x-y||, x \in K, y \in F\}$ ? La réponse est que non ! Pourquoi? Qu'est-ce que cela contredirait si c'était le cas?
Conclusion ?
P.S : "Besoin de coup de main oh" ---> Évite d'écrire ce genre de choses qui peut être interprété (a minima) comme étant de l'impatience envers les autres membres du forum qui sont là pour t'aider bénévolement et seulement quand on a le temps. Tu ne sembles par avoir tous les codes niveau communication sur un forum.
NicoLeprof 0 est la borne inférieure de l'ensemble { || x− y || , x ∈ K , y ∈ F } donc 0 est le plus grand des minorants de cet ensemble. 1/n > 0 oui avec n = 1, 2, 3.... 1/n ne peut pas être un minorant de l'ensemble : { || x − y || , x ∈ K , y ∈ F } car 1/n > 0
La contradiction : 1/n n'est pas un minorant de { || x − y || , x ∈ K , y ∈ F }. Qu'est-ce que cela contredirait si c'était le cas ? Je ne comprends pas bien cette question. Conclusion : 0+1/n n'est pas un minorant de { || x − y || , x ∈ K , y ∈ F }
Salut ne sais-tu pas qu'entre 0 et 1/n il y par exemple 1/(2n) ? Connais-tu les définitions de borne inférieure, minorant, minimum d'un ensemble ?
Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la
science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel
les objets soumis servent d’auxiliaire. BHASCARA
Tu viens de voir que$\dfrac{1}{n}$ ne peut pas être un minorant de l'ensemble $\{||x-y||, x \in K, y \in F\}$ car justement $\dfrac{1}{n}>0$. Ainsi, si $\dfrac{1}{n}$ était un minorant de cet ensemble, cela contredirait le fait que $0$ est la borne inférieure ($0$ est censé être le plus grand des minorants) de cet ensemble puisqu'on aurait un minorant (ici $\dfrac{1}{n}$ ) de cet ensemble strictement plus grand que $0$. Est-ce que tu comprends cette logique?
Donc, pour faire en sorte d'éviter cette contradiction, que peux-tu conclure sur $\dfrac{1}{n}$? Et que cela signifie-t-il avec des quantificateurs? Et la question est déjà finie...
Pour la conclusion 1/n n'est un minorant de { || x - y || , x ∈ K et y ∈ F } Or 0 est la borne inférieure de l'ensemble { || x− y || , x ∈ K , y ∈ F } donc 0 est le plus grand des minorants de cet ensemble. D'après la définition 4 m ≤ x ≤ m + ε 0 ≤ || x - y || ≤ 0 + 1/n 0 ≤ || x - y || ≤ 1/n 0 < || x - y || < 1/n ---> || x - y || < 1/n
Tu attaques des exercices portant sur un chapitre difficile mais tu sembles ne pas savoir écrire rigoureusement le moindre raisonnement mathématique. Tu devrais envisager une remediation assez poussée sur ce sujet avec un professeur particulier ou l’un de tes profs ou chargé de TD.
Sinon, il faut quantifier ce que tu écris pour répondre à la question 3. a), réutilise les mots de la question et essaie de voir le lien avec la déf 4 de ton cours. (Attention par exemple : $x$ et $y$ doivent dépendre de $n$ si tu poses $\varepsilon=\dfrac{1}{n}>0$, tu dois donc écrire $x_n$ et $y_n$ comme te l'indique la question).
NicoLeprof Si je pose ε=1/n > 0 Est-ce que je peux poser que m = 0 ? Vu que dans la définition 4, m est la borne inférieure. m ≤ x ≤ m + ε 0 ≤ || xₙ - yₙ || ≤ 0 + 1/n 0 ≤ || xₙ - yₙ || ≤ 1/n 0 < || xₙ - yₙ || < 1/n ---> || xₙ - yₙ || < 1/n Vous parlez de quantifier, vous voulez dire quoi par là ???
Oui ça se débloque petit à petit (bien pour $m=0$) mais attention à la rédaction. Je reprends :
$0$ est la borne inférieure de l'ensemble $\{||x-y||, x \in K, y \in F\}$ donc $0$ est le plus grand des minorants de cet ensemble.
Ainsi, pour tout $\varepsilon>0$, $0+\varepsilon>0$ n'est pas minorant de cet ensemble. Ce qui se traduit par : $\forall \varepsilon>0, \exists x \in K, y \in F \text{ tels que } ||x-y|| < \varepsilon$.
Posons, pour tout entier naturel $n$ non nul, $\varepsilon:=\dfrac{1}{n}$. Alors, il existe $x_n \in K$ et $y_n \in F$ tels que pour tout entier naturel $n$ non nul, $||x_n-y_n|| < \dfrac{1}{n}$.
(Les quantificateurs sont les expressions "pour tout" traduit par $\forall$ et "il existe" traduit par $\exists$ qui permettent comme leur nom l'indique de quantifier une phrase mathématique afin de la rendre logique, juste sur le plan mathématique et précise).
Ok d'accord 👍 Maintenant la 3 b ) je lis mon cours mais je ne trouve pas de partie K ∩ F ≠ ∅ je fouille mais je ne trouve pas.Ce que j vois concerne un théoreme et la notion d'adhérence.
Soit (E,d) un espace métrique et F une partie de E. F est fermé si, et seulement si, pour toute suite (xn) d'éléments de F qui converge vers un élément ℓ de E alors ℓ appartient à F (autrement dit, toutes les suites convergentes de F ont leur limite qui reste dans F). Je pense trouver une réponse à votre question posée
Il s'agit du coup pour la 3) b (si je ne m'abuse) d'utiliser, dans un ordre cohérent, toutes les hypothèses fournies par l'énoncé.
Tu as la question 3) a, puis tu utilises le fait que $K$ est compact ( de toute suite d'éléments de $K$, on peut extraire ...) puis le fait que $F$ est fermé.
Même si je ne suis pas totalement sûr de la démarche à adopter pour cette dernière question, il faudrait voir avec @bd2017 ou @raoul.S si je ne fais pas fausse route !
On verra demain. S'ils sont d'accord (y a @JLapin aussi qui aide volontiers en toute sympathie à chaque fois ), je leur enverrai ma réponse en message privé pour cette question 3. b) pour être sûr que je ne te raconte pas de bêtises en te guidant. Je ne suis pas expert en topologie, je préfère préciser ! ^^'
Je suis d'accord avec l'indication de NicoLeProfICI. Difficile d'en dire plus sans faire la question à la place de M4d...
Quoi qu'il en soit @M4d il faudrait remplacer partout $(E,\|\|_E)$ par $(E,d_E)$ (c'est un espace métrique et pas un espace normé) dans ton cours. En effet, comme déjà dit, il n'y a qu'un espace vectoriel normé compact c'est $\{0\}$ et il n'est pas très intéressant dans ce cas. Bref, si tu veux briller auprès de ton prof... à condition qu'il comprenne la correction hein
Bonjour , jusque-là là dernière 3-b ) j'ai pas encore eu d'intervenant pour m'expliquer hein , K ∩ F ≠ ∅, je lis mon cours mais jusque-là je n'arrive pas à avoir une issue
C'est difficile de t'expliquer car tu n'as pas les bases pour comprendre. Je reprends les notations de ton exercice : si $(x_n)$ est une suite d'éléments de $\R^3$ est-ce que tu sais ce qu'est une sous-suite de $(x_n)$ ? Si oui, peux-tu écrire rigoureusement ce qu'est une sous-suite de $(x_n)$ ?
Si tu ne sais pas, il n'y a aucune chance pour toi de faire cet exercice.
une sous-suite (ou une suite extraite) est une suite obtenue en ne prenant que certains éléments (une infinité) d'une suite de départ. Cette opération est parfois appelée extraction.
Réponses
0 est la borne inférieure de l'ensemble { || x− y || , x ∈ K , y ∈ F } donc 0 est le plus grand des minorants de cet ensemble.
1/n > 0 oui avec n = 1, 2, 3....
1/n ne peut pas être un minorant de l'ensemble : { || x − y || , x ∈ K , y ∈ F } car 1/n > 0
{ || x − y || , x ∈ K , y ∈ F }. Qu'est-ce que cela contredirait si c'était le cas ? Je ne comprends pas bien cette question.
Conclusion :
0+1/n n'est pas un minorant de { || x − y || , x ∈ K , y ∈ F }
ne sais-tu pas qu'entre 0 et 1/n il y par exemple 1/(2n) ?
Connais-tu les définitions de borne inférieure, minorant, minimum d'un ensemble ?
Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire. BHASCARA
1/n n'est un minorant de { || x - y || , x ∈ K et y ∈ F }
Or 0 est la borne inférieure de l'ensemble { || x− y || , x ∈ K , y ∈ F } donc 0 est le plus grand des minorants de cet ensemble.
D'après la définition 4
m ≤ x ≤ m + ε
0 ≤ || x - y || ≤ 0 + 1/n
0 ≤ || x - y || ≤ 1/n
0 < || x - y || < 1/n
---> || x - y || < 1/n
Tu devrais envisager une remediation assez poussée sur ce sujet avec un professeur particulier ou l’un de tes profs ou chargé de TD.
Si je pose ε=1/n > 0
Est-ce que je peux poser que m = 0 ? Vu que dans la définition 4, m est la borne inférieure.
m ≤ x ≤ m + ε
0 ≤ || xₙ - yₙ || ≤ 0 + 1/n
0 ≤ || xₙ - yₙ || ≤ 1/n
0 < || xₙ - yₙ || < 1/n
---> || xₙ - yₙ || < 1/n
Vous parlez de quantifier, vous voulez dire quoi par là ???
Maintenant la 3 b ) je lis mon cours mais je ne trouve pas de partie K ∩ F ≠ ∅ je fouille mais je ne trouve pas.Ce que j vois concerne un théoreme et la notion d'adhérence.
Je pense trouver une réponse à votre question posée
Quoi qu'il en soit @M4d il faudrait remplacer partout $(E,\|\|_E)$ par $(E,d_E)$ (c'est un espace métrique et pas un espace normé) dans ton cours. En effet, comme déjà dit, il n'y a qu'un espace vectoriel normé compact c'est $\{0\}$ et il n'est pas très intéressant dans ce cas. Bref, si tu veux briller auprès de ton prof... à condition qu'il comprenne la correction hein
K ∩ F ≠ ∅, je lis mon cours mais jusque-là je n'arrive pas à avoir une issue
Si tu ne sais pas, il n'y a aucune chance pour toi de faire cet exercice.