Espace vectoriel normé

M4d
M4d
Modifié (November 2023) dans Analyse

Bonjour, j'espère que vous allez bien. J'ai besoin d'aide pour la résolution de cet exercice où je bloque.
Exercice.
Nous considérons l'espace vectoriel ℝ³.

  1. Montrer qu'il existe deux constantes C₁ > 0 et C₂ > 0 telles que pour tout ( x , y , z ) ∈ ℝ³
    C₁ max{ x , y , z } ≤ √ x² + y² + z² ≤ C₂ max{ x , y , z }
    N.B : la racine √ prend en compte x² + y² + z²
  2. Quand dit-on qu'un sous-ensemble de ℝ³ est compact ?
  3. Soit K un compact de ℝ³ et F un sous-ensemble de ℝ³. On suppose que inf { || x - y || , x ∈ K et y ∈ F } = 0
    (a) Montrer que pour tout n ∈ ℕ*, il existe xₙ ∈ K et yₙ ∈ F tels que || xₙ - yₙ || < 1/n
    (b) En déduire que K ∩ F ≠ ∅.
«13

Réponses

  • gerard0
    Modifié (November 2023)
    Bonjour.
    L'énoncé (*) ne serait-il pas $C_1{\color{red}{\min}}(x,y,z)\le \sqrt{x^2+y^2+z^2}\le C_2\max (x,y,z)$ ? Avec un min à la place du max. Ce qui est presque évident car chacun des trois nombres x, y et z est compris entre le min et le max. Sinon, ça fonctionne aussi avec le max.
    Cordialement.

    (*) à corriger encore (voir ci dessous).
    NB : j'ai vu cet énoncé très récemment sur un forum !
  • gerard0
    Modifié (November 2023)
    Eh oui, je l'avais vu ! Il s'agissait d'un sujet d'un certain M45d. Tiens ! Quelle coïncidence de noms !! Et M45d n'est pas revenu alors qu'il y avait des indications ... sur la fausseté de cet énoncé !
    Tu nous prends pour des pigeons ?
  • Chaurien
    Modifié (November 2023)
    Ou plutôt : $C_1 \min (|x|,|y|,|z|) \le \sqrt{x^2+y^2+z^2} \le C_2 \max (|x|,|y|,|z|) $, non ?
  • gerard0
    Modifié (November 2023)
    Oui, ça lui avait été dit sur l'autre sujet, mais j'avais tilté sur min et max (même si, avec des valeurs absolues, les deux fonctionnent).
    Cordialement.
  • bd2017
    Modifié (November 2023)
    La question est certainement: 
    $C_1\max (|x|,|y|,|z|)≤\sqrt{x^2+y^2+z^2} ≤C_2\max(|x|,|y|,|z|)?$  Oui, je viens de voir le lien donné par @gerard0, mais je pense qu'il faut lui répondre.
    M4d a dit:  Bonjour , j'espère que vous allez bien.

    Oui, je vais bien. Merci.

     
  • NicoLeProf
    Modifié (November 2023)
    Bonjour,
    je suis d'accord avec bd2017 car l'application : $\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^+$ qui à $(x,y,z)$ associe $\min(|x|,|y|,|z|)$ n'est pas une norme sur $\mathbb{R}^3$ (ne vérifie pas la condition de séparation : la première). Or, dans la première question de cette exercice, j'ai très envie d'utiliser le résultat suivant : en dimension finie, toutes les normes sont ... (je laisse M4d compléter).
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Bonjour chers membre, c'est C₁ max et non C₁ min.
    C'est moi j'ai utilisé le pseudo M45d et j'ai eu à poster , mais après je n'arrive plus à avoir accès,  raison pour laquelle jai délaissé.
  • Je suis d'accord avec le premier commentaire mais simplement c'est C₁max ( x,y,z) ≤ √ x²+y²+z² ≤ C₂ max ( x ,y ,z )
    La √ prend en compte x²+y²+z²
  • gerard0
    Modifié (November 2023)
    Bon, maintenant que tu es revenu, vas-tu te décider: 
    1) à arrêter de copier bêtement un énoncé faux (prendre a=b=c=-1) ?
    2) à faire ton travail (La question 1 est facile, puisque le max est l'un des trois) ?
    3) à nous dire ce que tu as fait et où tu bloques.
  • Je suis bloqué sur la question 1
  • NicoLeProf
    Modifié (November 2023)
    Oui maintenant que ce problème d'énoncé est résolu (attention, ne pas oublier les valeurs absolues dans les max pour que ce soit des normes), @M4d, peux-tu lire mon commentaire ci-dessus et répondre à ma question : que peut-on dire des normes d'un espace vectoriel normé de dimension finie?
    Normalement, ceci t'aide à répondre à la question 1 qui est élémentaire.
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Oui les normes d'un espace vectoriel normé est de dimension finie
  • gerard0
    Modifié (November 2023)
    Première chose  : l'écrire correctement. (*)
    Deuxième  : majorer et minorer a²+b²+c² à l'aide du max(|a|,|b|,|c|).
     Si tu ne vois pas, essaie avec des exemples .
    Puis terminer.
    C'est un exercice de terminale ou début de L1.
    (*) ton refus de l'écrire est une preuve de mauvaise volonté.
  • Non M4d, ce que tu écris n'a pas de sens. En dimension finie, toutes les normes sont ... ?
    Or, ... et ... sont des normes.
    Donc il existe des constantes $C_1$ et $C_2$ telles que ... ?
    (Ou alors, tu suis la piste proposée par gerard0 qui semble plus accessible à un niveau début L1 effectivement).
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • M4d
    M4d
    Modifié (November 2023)
    Gerard0 je ne refuse pas d'écrire je travaille avec mon téléphone portable,  donc il est difficile de vous répondre,  en fait l'exercice est de L2 , je comprends pas bien l'exercice 
  • NicoLeprof 
    Dans un espace vectoriel normé de dimension finie toutes les normes sont équivalentes
  • Il est courant, en L2, d'avoir à utiliser des choses vues en L1, voire lycée ou même collège ou école primaire. Ce que je propose pourrait d'ailleurs être trouvé par un très bon élève de fin de collège (et se faisait en seconde au siècle dernier). Autre chose : Même avec un smartphone, les valeurs absolues doivent être écrite. On ne peut pas faire des maths en trichant sur les notations.
  • NicoLeProf
    Modifié (November 2023)
    "Dans un espace vectoriel normé de dimension finie toutes les normes sont équivalentes."
    Donc? Écris les choses, tu as déjà quasiment fini la question 1 ! ;)
    Pas pratiques les maths sur téléphone lol. :D
    Facile honnêtement pour de la L2, si j'avais eu ceci en L2 en topologie, j'aurais été content. Allez, courage M4d, topologie ne veut pas dire "impossible" finalement ! ;)
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • M4d
    M4d
    Modifié (November 2023)
    C₁max (x,y,z) ≤ √x²+y²+z² ≤ C₂max(x,y,z)
    C₁ max ( |x|, |y| , |z| ) ≤ √x²+y²+z² ≤ C₂max( |x| ,| |y| ,|z| )
  • NicoLeProf
    Modifié (November 2023)
    Mouais, maintenant c'est à rédiger rigoureusement avec les justifications adéquates et des quantificateurs, courage M4d ! :)
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • NicoLeprof jusqu'à présent je n'arrive pas à démarrer,  je suis bloqué même 
  • Ok complète les pointillés :
    $\mathbb{R}^3$ est un espace vectoriel normé de dimension ...... .
    De plus, les applications  \[ \begin{array}{ccccl} N_1 & : & \mathbb{R}^3 & \to & \mathbb{R}^+ \\  & & (x,y,z) & \mapsto & \max(|x|,|y|,|z|) \\ \end{array} \hspace{0.5 cm}  \text{   et   } \hspace{0.5 cm}   \begin{array}{ccccl} N_2 & : & \mathbb{R}^3 & \to & \mathbb{R}^+ \\  & & (x,y,z) & \mapsto &  ............... \\ \end{array} \] sont des normes (je te laisse le prouver).
    Or, en dimension finie, toutes les normes sont ................ .
    Donc il existe des constantes ........ et ....... telles que $..................... \leq ..................... \leq .....................$ .
    Et la question 1. est déjà finie ! :D
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • lourrran
    Modifié (November 2023)
    Notons $m=\max(|x|, |y|, |z|) $  , ça va alléger les écritures.
    $x^2+y^2+z^2 \le ... $

    etc. etc.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • M4d
    M4d
    Modifié (November 2023)
    ℝ³ est un espace vectoriel de dimension finie.
    De les applications :  N₁  ℝ³ ----> ℝ⁺ et (x,y,z) ----> max ( |x| , |y| , |z| )
    N₂ ℝ³ ----> ℝ⁺ et (x,y,z) ----> max ( ||x|| , ||y|| , ||z|| ) sont des normes.
    Or, en dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.
    Donc il existe des constantes C₁ et C₂ telles que C₁ max ( ||x||,||y||,||z|| ) ≤ √x²+y²+z² ≤ C₂ max ( ||x|| , ||y|| , ||z|| )
  • NicoLeProf
    Modifié (November 2023)
    Voilà, attention, une erreur : $N_2$ c'est celle qui à $(x,y,z)$ associe $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$. Bien préciser que $C_1>0$ et $C_2>0$ et remplacer les $||$ dans les $\max$ par des valeurs absolues.
    Tu peux continuer !
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • M4d
    M4d
    Modifié (November 2023)
    N₂  ℝ³ ----> ℝ⁺ 
    (x,y,z) -----> √x²+y²+z²
    Donc il existe C₁>0 et C₂>0 
    C₁ max( |x| , | y | , |,z| ) ≤ √x²+y²+z² ≤ C₂max( |x| , |y| , |z| )
  • En oubliant un peu l'algèbre cela se démontre avec les constantes optimales $C_1=1$  et $C_2=\sqrt{3}.$
     
  • bd2017
    comment on démontre cela ?
  • louran merci pour votre remarque
  • gerard0
    Modifié (November 2023)
    En changeant éventuellement les noms des lettres, on peut supposer que $|x|$ est le max, donc 
    $x^2+0^2+0^2\le x^2+y^2+z^2\le x^2+x^2+x^2$
    Et on utilise la croissance de la racine carrée ... C'est compréhensible en lycée, et pas très difficile à trouver ...
  • ok je vais essayer gerard0
  • M4d
    M4d
    Modifié (November 2023)
    Je n'arrive pas à démarrer gerard0 
    Ce que je sais sur la racine c'est qu'elle est définie 
    [ 0; +∞[ .Elle est positive
    quand x augmente la √x augmente 
    maintenant vous parlez de sa croissance comparée , bon là je nai pas de notion sur cela.
    Mais je connais par exemple la croissance comparée de e∧x et lnx
  • Allons M4d, tu as $x^2+0^2+0^2 \leq x^2+y^2+z^2 \leq x^2+x^2+x^2$ donc par croissance de la fonction racine carrée sur l'intervalle $[0;+\infty[$, on obtient : $...... \leq ...... \leq .....$.
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • lourrran
    Modifié (November 2023)
    Euhhhh  
    l'expression 'croissance comparée' apparaît pour la première fois dans ton dernier message, personne ne parle de trucs compliqués comme ça.

    Quand tu as écrit 'je vais essayer', j'avais envie de répondre : trop tard pour essayer, il faut juste recopier la formule donnée par gerard0, il a donné la réponse.

    Notons $m=\max(|x|, |y| ,|z|)$  Je tiens à commencer comme ça, parce que nommer simplement les objets, ça aide à les manipuler.
    Donc
    $x^2 \le m^2$,
    $y^2 \le m^2$
    et
    $z^2 \le m^2$
    Si j'additionne ces 3 inégalités, j'obtiens ...

    À toi de continuer ...   Toutes les connaissances nécessaires sont des connaissances de fin de collège, rien de plus ; il faut juste prendre des initiatives, et ça, c'est un peu plus difficile.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • NicoLeProf la notion de croissance comparée de racine carrée m'est nouvelle je comprends cette notion sauf si je fais je recherche à propos 
  • NicoLeProf
    Modifié (November 2023)
    Mais... Nous n'avons pas parlé de croissance comparée !!! Nous avons juste dit que la fonction racine carrée est croissante sur $\mathbb{R}^+$.
    Ce n'est pas compliqué ça, c'est du lycée (début de lycée). Lourrran exagère en parlant du collège (les collégiens sont bien moins performants que ça et le programme est bien moins exigeant aussi, déjà comprendre le concept de fonction est très difficile pour eux, bref ! :D ). 
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • M4d
    M4d
    Modifié (November 2023)
    lourran
    x²+y²+z² ≤ 3m²
  • NcoLeProf j'ai compris 
  • NicoLeProf 
    x² ≤ x²+y²+z² ≤ x²
    0² = 0
  • Euh... Combien fait $x^2+x^2+x^2$?
    Ensuite, il faut passer à la racine carrée...
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • pardon  j'ai du oublié ca fait 3x²
  • Oui et ensuite? Avec la fonction racine carrée?
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • M4d
    M4d
    Modifié (November 2023)
    x² ≤ √x²+y²+z² ≤ 3x²
  • Tu es en L2?
    Regarde ce que tu as écrit au-dessus s'il te plaît, ne manque-t-il pas quelque chose à $x^2$ et à $3x^2$?
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • hx1_210
    Modifié (November 2023)
    Tu fais quoi comme L2 ?
    Parce que les membres ne peuvent pas deviner si tu as arrêté les maths en seconde et si tu es  dans une L2 non mathématiques. Auquel cas il te manque peut-être des connaissances pour comprendre les raisonnements entrepris même s’ils sont simples.

    Rappel la résolution d’inégalités qui se faisait au collège à sauté  des programmes en 2016 alors que la racine carrée avait disparu peu avant  (comme les systèmes d’équations vive scratch).

    Toutes ces notions sont maintenant survolées en mode marche ou crève en seconde, ce qui explique des lacunes qui choquent. 
  • lourrran
    Modifié (November 2023)
    Je pense que dans le message de 13h41 : https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/comment/2450019/#Comment_2450019  l'erreur est une 'coquille'.
    Faire des maths sur téléphone portable, en écrivant une ligne toutes les 10 minutes, c'est comme le canada-dry : au mieux, ça ressemble très vaguement à des maths. Et souvent, ça ne ressemble même pas à des maths.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • zygomathique
    Modifié (November 2023)
    Salut
    je suis depuis longtemps mais il y avait du soutien ...

    Peut-être pour simplifier les choses : 
    soit a, b et c trois réels positifs et on note m leur maximum
    1/ donner un encadrement simple de s = a + b + c en fonction de m
    2/ en déduire un encadrement simple de $ \sqrt {a + b + c}$ en fonction de m

    (et ceci n'utilise que des propriétés de collège (enfin théoriquement) sur les inégalités ainsi qu'un petit raisonnement élémentaire pour la minoration).

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • M4d
    M4d
    Modifié (November 2023)
    √x² ≤ √x²+y²+z² ≤ √3x²
    ici √x²= |x| 
    or |x| = x si ≥  0 ou -x si x < 0 ou x si x = 0
    comme C₁ > 0 donc x > 0
    √3x² = √3 × |x|
    comme C₂ > 0 donc 3x > 0
  • lourrran
    Modifié (November 2023)
    A l'avant dernière ligne, il manque un symbole $\sqrt{ -}$.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • M4d
    M4d
    Modifié (November 2023)
    √3x² = √3 × |x| 

Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.