Espace vectoriel normé
Bonjour, j'espère que vous allez bien. J'ai besoin d'aide pour la résolution de cet exercice où je bloque.
Exercice.
Nous considérons l'espace vectoriel ℝ³.
- Montrer qu'il existe deux constantes C₁ > 0 et C₂ > 0 telles que pour tout ( x , y , z ) ∈ ℝ³
C₁ max{ x , y , z } ≤ √ x² + y² + z² ≤ C₂ max{ x , y , z }
N.B : la racine √ prend en compte x² + y² + z² - Quand dit-on qu'un sous-ensemble de ℝ³ est compact ?
- Soit K un compact de ℝ³ et F un sous-ensemble de ℝ³. On suppose que inf { || x - y || , x ∈ K et y ∈ F } = 0
(a) Montrer que pour tout n ∈ ℕ*, il existe xₙ ∈ K et yₙ ∈ F tels que || xₙ - yₙ || < 1/n
(b) En déduire que K ∩ F ≠ ∅.
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Réponses
Oui, je vais bien. Merci.
C'est moi j'ai utilisé le pseudo M45d et j'ai eu à poster , mais après je n'arrive plus à avoir accès, raison pour laquelle jai délaissé.
La √ prend en compte x²+y²+z²
Si tu ne vois pas, essaie avec des exemples .
Puis terminer.
C'est un exercice de terminale ou début de L1.
Dans un espace vectoriel normé de dimension finie toutes les normes sont équivalentes
C₁ max ( |x|, |y| , |z| ) ≤ √x²+y²+z² ≤ C₂max( |x| ,| |y| ,|z| )
$x^2+y^2+z^2 \le ... $
etc. etc.
De les applications : N₁ ℝ³ ----> ℝ⁺ et (x,y,z) ----> max ( |x| , |y| , |z| )
N₂ ℝ³ ----> ℝ⁺ et (x,y,z) ----> max ( ||x|| , ||y|| , ||z|| ) sont des normes.
Or, en dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.
Donc il existe des constantes C₁ et C₂ telles que C₁ max ( ||x||,||y||,||z|| ) ≤ √x²+y²+z² ≤ C₂ max ( ||x|| , ||y|| , ||z|| )
(x,y,z) -----> √x²+y²+z²
Donc il existe C₁>0 et C₂>0
C₁ max( |x| , | y | , |,z| ) ≤ √x²+y²+z² ≤ C₂max( |x| , |y| , |z| )
comment on démontre cela ?
Ce que je sais sur la racine c'est qu'elle est définie
[ 0; +∞[ .Elle est positive
quand x augmente la √x augmente
maintenant vous parlez de sa croissance comparée , bon là je nai pas de notion sur cela.
Mais je connais par exemple la croissance comparée de e∧x et lnx
l'expression 'croissance comparée' apparaît pour la première fois dans ton dernier message, personne ne parle de trucs compliqués comme ça.
Quand tu as écrit 'je vais essayer', j'avais envie de répondre : trop tard pour essayer, il faut juste recopier la formule donnée par gerard0, il a donné la réponse.
Notons $m=\max(|x|, |y| ,|z|)$ Je tiens à commencer comme ça, parce que nommer simplement les objets, ça aide à les manipuler.
Donc
$x^2 \le m^2$,
$y^2 \le m^2$
et
$z^2 \le m^2$
Si j'additionne ces 3 inégalités, j'obtiens ...
À toi de continuer ... Toutes les connaissances nécessaires sont des connaissances de fin de collège, rien de plus ; il faut juste prendre des initiatives, et ça, c'est un peu plus difficile.
x²+y²+z² ≤ 3m²
x² ≤ x²+y²+z² ≤ x²
0² = 0
Parce que les membres ne peuvent pas deviner si tu as arrêté les maths en seconde et si tu es dans une L2 non mathématiques. Auquel cas il te manque peut-être des connaissances pour comprendre les raisonnements entrepris même s’ils sont simples.
Rappel la résolution d’inégalités qui se faisait au collège à sauté des programmes en 2016 alors que la racine carrée avait disparu peu avant (comme les systèmes d’équations vive scratch).
Toutes ces notions sont maintenant survolées en mode marche ou crève en seconde, ce qui explique des lacunes qui choquent.
Faire des maths sur téléphone portable, en écrivant une ligne toutes les 10 minutes, c'est comme le canada-dry : au mieux, ça ressemble très vaguement à des maths. Et souvent, ça ne ressemble même pas à des maths.
je suis depuis longtemps mais il y avait du soutien ...
Peut-être pour simplifier les choses :
soit a, b et c trois réels positifs et on note m leur maximum
1/ donner un encadrement simple de s = a + b + c en fonction de m
2/ en déduire un encadrement simple de $ \sqrt {a + b + c}$ en fonction de m
(et ceci n'utilise que des propriétés de collège (enfin théoriquement) sur les inégalités ainsi qu'un petit raisonnement élémentaire pour la minoration).
Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire. BHASCARA
ici √x²= |x|
or |x| = x si ≥ 0 ou -x si x < 0 ou x si x = 0
comme C₁ > 0 donc x > 0
√3x² = √3 × |x|
comme C₂ > 0 donc 3x > 0