Écarts entre premiers consécutifs et recouvrement

Sylvain

Bonjour,

Il m'est venu une idée un peu étrange comme ça m'est souvent arrivé : considérons un cercle gradué $\Gamma_{P}$  de périmètre $P$ où $P$ est une primorielle, et un recouvrement du disque $\Delta_{P}$ de frontière $\Gamma_{P}$ par des disques ouverts $D_{k}$ de centres situés sur $\Gamma_{P}$ et de rayons respectifs $r_{k}$ et contenant l'arc de cercle de $\Gamma_{P}$ joignant deux points $M_{n}$ et $M_{n+1}$ correspondant respectivement aux graduations $p_{n}$ et $p_{n+1}$, nombres premiers inférieurs à $P$.

Peut-on donner un majorant de $R_{P}:=\sup_{k}\{r_{k}\}$?
Mon idée étant que le centre de tout disque $D_{k}$ doit être situé sur la médiatrice de la corde $M_{n}M_{n+1}$.

Sylvain

Par le TNP la moyenne arithmétique $r(P)$ des $r_{k}$ pour $P$ tendant vers l'infini est de l'ordre de $\frac{\log n}{2}$ avec $\vert g_{n}-2r_{k}\vert\lt\varepsilon_{P}$ où $g_{n}:=p_{n+1}-p_{n}$ et $\varepsilon_{P}>0$ avec $\displaystyle{\lim_{P\to\infty}\varepsilon_{P}=0}$.
Je conjecture qu'on a $R_{P}\ll_{P}r(P)^{2}$, ce qui correspond géométriquement à l'aire "du" plus grand des $D_{k}$ à une constante multiplicative près.

Sylvain

Après réflexion, il apparaît fort probable que $R_{P}<\frac{P}{2\pi}+h_{p}$ pour $P>P_{0}$ ($P$ étant à la fois une Primorielle et le Périmètre de $\Gamma_{P}$), pour un certain seuil $P_{0}$ à expliciter et une quantité strictement positive $h_{p}$ tendant vers $0$ quand $P$ tend vers l'infini. Je vais chercher une démonstration.

Sylvain

En outre, les disques $D_{k}$ sont au nombre de $\pi(P)$ (oserais-je dire que "les $D$(és) sont pipés" ?  ), ce qui peut sans doute permettre une majoration plus fine.